1、第三章检测题A时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()ABCD答案C解析本题考查了双曲线的标准方程、焦点和离心率问题由双曲线的右焦点(3,0)知c3，即c29，又c2a2b2，9a25，即a24，a2.离心率e.关于双曲线标准方程的问题，首要的是判定好a2和b2，若所给方程为1，很多同学易出现把a和5分别当成实半轴长和虚半轴长的错误2已知椭圆1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于()A4B5C7D8答案D解析由题意，得m210m，且10m0
2、，于是6m0，b0)的右焦点，倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率为()A2BCD答案A解析由条件知，双曲线的渐近线与此直线平行，tan60，ba，代入a2b2c2中得4a2c2，e24，e1，e2，故选A8若直线y2(x1)与椭圆1交于A、B两点，则|AB|()ABCD答案C解析由方程组消去y整理得3x25x0，x10，x2，y12，y2.|AB|.9(2014江西文)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A1B1C1D1答案A解析如图设双曲线的右焦点
3、F，右顶点B，设渐近线OA方程为yx(也可设为yx)，由题意知，以F的半径的圆过点O，A，|FA|FO|r4.ABx轴，A为AB与渐近线yx的交点，可求得A点坐标为A(a，b)在RtABO中，|OA|2c|OF|4，在OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|a2，|AB|b2，双曲线的方程为1，故选A解答本题关键是要找出A与O、B、F连线的几何关系10点P在椭圆7x24y228上，则点P到直线3x2y160的距离的最大值为()ABCD答案C解析利用数形结合法，设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为l：yxb，与椭圆方程联立消一元后，令0可求得b4，然后求直线l与3x2y16
4、0的距离即得所求的最大值二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11椭圆1的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使F1PF290的点P有_个答案0解析设ab0，c，以O为圆心，以c为半径画圆；当cb时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a24，b23，c1，b，因此这样的点P不存在12在ABC中，已知|BC|8，则满足|sinCsinB|sinA的动点A的轨迹方程是_答案1(y0)解析由正弦定理得：|AB|AC|4b0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.答案解析本题考查椭圆的几何
5、性质，解三角形问题在ABF中，由余弦定理得，cosABF，|BF|216|BF|640，|BF|8，设右焦点为F1，因为直线过原点，|BF1|AF|6，2a|BF|BF1|14，a7，O为RtABF斜边AB的中点，|OF|AB|5，c5，e.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16已知中心在坐标原点的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)若平行于OA的直线l与椭圆有公共点，求直线l在y轴上的截距的取值范围解析(1)设椭圆方程为1，代入点A(2,3)，1，解得a216.椭圆方程为1.(2)设直线l的方程yx
6、b，代入1，得3x23bxb2120，(3b)212(b212)0，4b4.17已知圆C：x2(y3)29，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程解析解法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以OQC90.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即x2y2x2(y3)29，所以x2(y)2(去掉原点)解法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以OQC90，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2(y)2(去掉原点)解法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意得，即又因为x(y13)29，所以4x24(y)29，即x2(y)2(去掉原点)
7、18(2014云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解析(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，
8、SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.此时SOPQmax1，所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.21已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解析(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)解法一：设A、B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.解法二：设A、B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2得x，y，将x、y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.
