1、第二章 空间向量与立体几何章末检测(二)(时间90分钟满分100分)第卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1空间中，与向量a(3,0,4)同方向的单位向量e为()A(1,0,0)B(1,0,0)或(1,0,0)C.D.或解析：与a(3,0,4)同方向的单位向量为e，故选C.答案：C2已知线段AB的长度为6，与直线l的夹角为120，则在l上的投影为()A3B3C3 D3解析：在l上的投影为：|cos 1203.答案：B3已知a(sin ，cos ，tan )，b，若ab，则为()A B.C2k(kZ) Dk
2、(kZ)答案：D4若直线l的方向向量为a(1，5,7)，平面的法向量为n(2,1,1)，则()Al或l BlCl Dl与斜交解析：an1(2)(5)170，an，l或l.答案：A5已知向量a(2，1,3)，b(4,2，x)，且(ab)a，则x()A. BC. D答案：B6在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若x2y3z，则xyz等于()A1 B.C. D.解析：在平行六面体中，x2y3z.比较系数知x1，y，z，xyz.答案：B7.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0，其中正确结论的个数是()A1 B
3、2C3 D4解析：因为0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确答案：B8正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DO，D1O，cosDD1O.BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.答案：D9正方体ABCDA1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F
4、分别为DD1，AD的中点若异面直线EF与BM所成的角为，则的取值范围为()A. B.C. D.解析：以D点为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设DA2，易得(1,0，1)，设 (2，2，2)(01)，则(22，2，2)，则cos |cos，|(01)当时，cos 取到最大值，此时，当1时，cos 取到最小值，此时，所以的取值范围为.故选A.答案：A10.如图，在空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，则下面结论错误的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D.与所成的角为60解析：设正方体的棱长为1，则有A(1,0,0)，B(1,
5、1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)(1，1,0)，(1,1,1)，(0，1,1)，(1，1,0)，(1,0，1)，(1,0,0)对于选项A，由知结论正确；对于选项B，由(1,1,1)(1，1,0)0知结论正确；对于选项C，由选项B，再由(1,1,1)(1,0，1)0知结论正确；对于选项D，由cos，知结论不正确答案：D第卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)满足条件( ca)2b2，则x
6、_.解析：a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)2b2(1x)2，x2.答案：212已知空间向量a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则_.解析：ab，amb(mR)，解得.答案：13在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值是_解析：如图所示，建立空间直角坐标系，易求得点D(，1)，平面AA1C1C的一个法向量是n(1,0,0)，所以cosn，即sin .答案：14已知点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C
7、1D1的底面ABCD上一点，则的取值范围是_解析：以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C1(1,1,1)，不妨设P(x，y,0)，0x1,0y1，则(x，y,0)，(1x,1y,1)，(1x)x(1y)yx2y2xy22.当xy时，取得最小值；当x0或1，y0或1时，取得最大值0.答案：三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)如图，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB2，E是PB的中点，cos，.(1)建立适当的空间直角坐标系，求出点E的坐标；(2)在平面PAD内求一
8、点F，使EF平面PCB.解析：(1)分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，设P(0,0,2m)(m0)，则E(1,1，m)，(1,1，m)，(0,0,2m)，cos，解得m1或m1(舍去)，点E的坐标是(1,1,1)(2)由(1)知B(2,2,0)，C(0,2,0)，点F平面PAD，可设F(x,0，z)，(x1，1，z1)又EF平面PCB，(2,0,0)，(x1，1，z1)(2,0,0)0，解得x1.又，(0,2，2)，(x1，1，z1)(0,2，2)0，解得z0，点F的坐标是(1,0,0)，即点F是AD的中点16(10分)
9、如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)求证：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3，求证：平面AMC平面BMC.证明：(1)如图所示，以O为坐标原点，射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是(0,3,4)，(8,0,0)，所以(0,3,4)(8,0,0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知AP5.又AM3，且点M在线段AP上，所以，又(4，5,0)，所以，则(0,3,4)0，所以，即AP
10、BM.又APBC，所以AP平面BMC，所以AM平面BMC.又AM平面AMC，所以平面AMC平面BMC.17(12分)如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC夹角的余弦值解析：BAA，OBOAOA|O|A|cosO，A|O|A|cosO，A84cos 13586cos 1202416 .cosO，B.OA与BC夹角的余弦值为.18(12分)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)求证：AF平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值解析：(1)设AB1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，0)易得(0，1)，(0,2，4)，于是cos，.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)证明：易知(1,2,1)，(1，4)，(1，0)，于是0，0.因此，AFEA1，AFED.又EA1EDE，所以AF平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量为(x，y，z)，则即不妨令x1，可得(1,2，1)，由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，于是cos，从而sin，.所以二面角A1EDF的正弦值为.
