1、1设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有_，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值如果对x0附近的所有的点，都有_，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值极大值与极小值统称极值2一般地，求函数yf(x)的极值的方法如下：解方程f(x)0，当f(x0)0时，f(x)f(x0)f(x)f(x0)(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_值(2)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值3一般地，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在_内的极值(2)将函数yf(x)的_与端点处的函数值f
2、(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_极大f(x)0f(x)0a，b各个极值最大值最小值1下列命题中，正确的是 ()A导数为0的点一定是极值点B如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值C如果在点x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值D如果在点x0附近的右侧f(x)0，左侧f(x)0，那么f(x0)是极大值解析：根据极值的定义可知B正确答案：B2下列函数存在极值的是 ()答案B3函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个 C3个
3、 D4个解析：设导数f(x)的图象与x轴交点的横坐标(除原点)从左到右分别为x1，x2，x3，从图象知，在(a，x1)、(x2,0)、(0，x3)上f(x)0，在(x1，x2)、(x3，b)上f(x)0，即在(a，x1)上f(x)递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，x3)上递增，在(x3，b)上递减函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点只有一点x2.答案：A4函数yxex的极大值为_解析：yexxex(1x)ex，当x1时函数递增，当x1时函数递减，所以x1时，函数取极大值从以下几点正确理解函数极值的概念：(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左右区域都有意义(2)极
4、值点是函数f(x)定义域中的内点，因而端点绝不是函数的极值点(3)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的(4)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小(5)函数f(x)在极值点处不一定存在导数(例如函数y|x|，x0是函数的极小值点，但在x0处不存在导数)(6)可导函数的极值点一定是使它的导数为零的点，反之使函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点因此使导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这个点两侧的导数异号(7)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局
5、部概念函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念(8)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(9)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值(10)如果函数不在闭区间a，b上可导，则确定函数的最值时，不仅比较使该函数的导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值(11)在解决实际应用问题时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较考点一 函数的极值与导数(即时巩固详解为教
6、师用书独有)关键提示：先求出函数的导数，再由x1是导函数等于零的根求得a的值答案：3【即时巩固1】已知函数f(x)x33ax22bx在x1处有极小值1，试确定a、b的值，并求f(x)的单调区间考点二 函数的最值与导数【案例2】设函数f(x)ln(2x3)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(1)求a、b、c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0.4a3b40.由、解得a2，b4.因为l上切点的横坐标为x1，所以f(1)4，所以1abc4，所以c5.(2)由(1)可得f(x)x32x
7、24x5，所以f(x)3x24x4.考点三 创新应用【案例3】已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值关键提示：结合图象进行讨论解：(1)由函数f(x)的图象过点(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.所以m3.代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2或x0；由f(x)0得0 x2，故f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)，f(x
8、)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值【即时巩固3】已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解：(1)f(x)3x23a3(x2a)当a0时，对任意的xR，有f(x)0，所以当a0时，f(x)的单调增区间为(，)；(2)因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)3(1)23a0.所以a1.所以f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(3,1)
