1、第3课时导数的应用及定积分的简单应用课后训练案巩固提升A组1.函数y=x-ex的递增区间为()A.(1,+)B.(0,+)C.(-,0)D.(-,1)解析:f(x)=1-ex,f(x)0的解为x0,故函数的递增区间为(-,0).答案:C2.边界在直线y=0,x=e,y=x及曲线y=1x上的封闭图形的面积为()A.1B.2C.32D.e解析:由题意,作出封闭图形,其面积为12+1e 1xdx=12+ln x|1e=32.答案:C3.对任意的xR,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0a21B.a=0或a=7C.a21D.a=0或a=21解析:f(x)=3x2+2ax
2、+7a,当相应一元二次方程的根的判别式=4a2-84a0,即0a21时,f(x)0恒成立,此时函数f(x)不存在极值点.故选A.答案:A4.若f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+)上是减少的,则b的取值范围是()A.-1,+)B.(-1,+)C.(-,-1D.(-,-1)解析:f(x)=-x+bx+20,x(-1,+),即f(x)=-x2-2x+bx+20,即-x2-2x+b=-(x+1)2+1+b0.1+b0,b-1.答案:C5.函数f(x)=-x3+x2+x-2的零点个数及分布情况为()A.一个零点,在-,-13内B.两个零点,分别在-,-13,(0,+)内C.三个零点,分别
3、在-,-13,-13,0,(1,+)内D.三个零点,分别在-,-13,(0,1),(1,+)内解析:利用导数法易得函数f(x)在-,-13上是减少的,在-13,1上是增加的,在(1,+)上是减少的,而f-13=-59270,f(1)=-10).(1)若函数f(x)在x=-1处取得极值-2,求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上是增加的,求b的取值范围.解(1)由题知f(x)=a(b-x2)(x2+b)2.因为函数f(x)在x=-1处取得极值-2,所以f(-1)=0,f(-1)=-2a=4,b=1.(2)函数f(x)在区间(-1,1)上是增加的,即f(x)0在区间(-1,1)上恒
4、成立,因为a0,(x2+b)20,所以b-x20,即bx2在区间(-1,1)上恒成立,所以bx2max.因为x(-1,1),所以0x21.所以b的取值范围为1,+).10.导学号88184070如图所示,已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=-x2+2ax(a1)交于点O,A,直线x=t(0t1)与曲线C1,C2分别交于点D,B连接OD,DA,AB,BO.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S=f(t);(2)求函数S=f(t)在区间(0,1上的最大值.解(1)由y=x2,y=-x2+2ax得点O(0,0),A(a,a2).又由已知,得B(t,-t2+2at),D(
5、t,t2),S=0t (-x2+2ax)dx-12tt2+12(-t2+2at-t2)(a-t)=16t3-at2+a2t.S=f(t)=16t3-at2+a2t(0t1).(2)由(1)可得f(t)=12t2-2at+a2.令f(t)=0,即12t2-2at+a2=0.解得t=(2-2)a或t=(2+2)a(由于t1,舍去).当(2-2)a1,即a2+22时,0t1,f(t)0.f(t)在区间(0,1上是增加的,S的最大值是f(1)=a2-a+16;当(2-2)a1,即1a2+22时,当0t0,f(t)在区间(0,(2-2)a上是增加的;当(2-2)at1时,f(t)0,f(t)在区间(2-
6、2)a,1上是减少的.f(t)的最大值是f(2-2)a=23(2-1)a3.综上所述,f(t)max=a2-a+16,a2+22,23(2-1)a3,1a0,则()A.ef(2 015)f(2 016)B.ef(2 015)f(2 016)C.ef(2 015)=f(2 016)D.ef(2 015)与f(2 016)大小不确定解析:令g(x)=f(x)ex,则g(x)=exf(x)-exf(x)e2x=f(x)-f(x)exg(2 016),即f(2 015)e2 015f(2 016)e2 016,所以ef(2 015)e2 016f(2 016)e2 016,即ef(2 015)f(2
7、016).答案:A2.已知函数f(x)=x2-2x+1+aln x有两个极值点x1,x2,且x1x2,则()A.f(x2)-1+2ln24B.f(x2)1+2ln24D.f(x2)1-2ln24解析:函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-2+ax=2x2-2x+ax,因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,所以x1,x2是方程2x2-2x+a=0的两根,又x1x2,且x1+x2=1,所以12x21,又a=2x2-2x22,所以f(x2)=(x2-1)2+(2x2-2x22)ln x2.令g(t)=(t-1)2+(2t-2t2)ln t12t0,所以g(t)在区间12,1上是增加的,
8、g(t)g12=1-2ln24,所以f(x2)1-2ln24.答案:D3.已知F(x)是一次函数,且01 F(x)dx=5,01 F(x)xdx=176,则F(x)=.解析:F(x)是一次函数,设F(x)=kx+b(k0).01 F(x)dx=01 (kx+b)dx=k2x2+bx|01=k2+b,k2+b=5.又01 F(x)xdx=01 (kx+b)xdx=01 (kx2+bx)dx=k3x3+b2x2|01=k3+b2.k3+b2=176.由,得k=4,b=3.F(x)=4x+3.答案:4x+34.已知函数f(x)=13x3+ax+b(a,bR)在x=2处取得极小值-43.(1)求函数f
9、(x)的递增区间;(2)若f(x)m2+m+103对x-4,3恒成立,求实数m的取值范围.解(1)由已知得f(2)=-43,f(2)=0,又f(x)=x2+a,所以83+2a+b=-43,4+a=0,解得a=-4,b=4,则f(x)=13x3-4x+4.令f(x)=x2-40,得x2,所以函数f(x)的递增区间为(-,-2),(2,+).(2)f(-4)=-43,f(-2)=283,f(2)=-43,f(3)=1,则当x-4,3时,f(x)的最大值为283,故要使f(x)m2+m+103对x-4,3恒成立,只要283m2+m+103,解得m2或m-3.所以实数m的取值范围是(-,-32,+).
10、5.导学号88184071已知函数f(x)=x,g(x)=aln x,aR.(1)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值(a)的解析式;(2)对(1)中的(a),证明:当a(0,+)时,(a)1.解(1)由题意知h(x)=x-aln x(x0),h(x)=12x-ax=x-2a2x,当a0时,令h(x)=0,解得x=4a2,当0x4a2时,h(x)4a2时,h(x)0,h(x)在(4a2,+)上是增加的.x=4a2是h(x)在(0,+)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.最小值(a)=h(4a2)=2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a).当a0时,h(x)=x-2a2x0,h(x)在(0,+)上是增加的,无最小值.综上所述,h(x)的最小值(a)的解析式为(a)=2a(1-ln 2a)(a0).(2)由(1)知(a)=2a(1-ln 2a)=2a(1-ln 2-ln a),则(a)=-2(ln 2+ln a).令(a)=0,解得a=12.当0a0,(a)在0,12上是增加的;当a12时,(a)0,(a)在12,+上是减少的.(a)在a=12处取得极大值12=1,也是最大值,故当a(0,+)时,(a)1.
