1、二十七 双曲线的几何性质 (15 分钟 30 分)1双曲线 2x2y28 的实轴长是()A2 B2 2 C4 D4 2【解析】选 C.将双曲线化成标准形式为x24 y28 1，得 2a4.2(2020全国卷)设双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1PF2P.若 PF1F2 的面积为 4，则 a()A1 B2 C4 D8【解析】选 A.设 PF1m，PF2n，mn，SPF1F2 12 mn4，mn2a，m2n24c2，eca 5，所以 a1.3双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的一条渐近线方程为 y
2、x，且 C 经过点A(2，3)，则双曲线 C 的方程为()Ax2y21 Bx22 y23 1Cx23 y29 1 Dx24 y24 1【解析】选 A.由双曲线 C 的一条渐近线方程为 yx，则双曲线为等轴双曲线，即ab，双曲线 C：x2y2a2，将 A(2，3)代入双曲线方程，解得 a1，所以双曲线的标准方程为 x2y21.4设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|PF2|6a，且 PF1F2 的最小内角为 30，则 C 的离心率为()A 2 B32 C 3 D 62【解析】选 C.不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF
3、2|2a.又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a，则PF1F2是PF1F2的最小内角，为 30，所以|PF2|2|PF1|2|F2F1|22|PF1|F2F1|cos 30，所以(2a)2(4a)2(2c)224a2c 32 ，化为 e22 3 e30，解得 e 3.5(2020荆州高二检测)已知双曲线x2a2 y21(a0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 2，P 为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2|PF2|24，求 PF1F2 的周长【解析】由题意得 a21a 2，得 a 33 ，c a21 2 33 ，P 为双曲线右支上一点，所以|PF1|PF2 2a2
4、 33 .因为|PF1 2|PF2 2(|PF1|PF2 )(|PF1|PF2 )4，所以|PF1|PF2 2 3，所以PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2 2 3 4 33 10 33.所以PF1F2的周长为10 33.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1已知双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的离心率为 52，则双曲线 C 的渐近线方程为()Ay14 x By13 xCy12 x Dyx【解析】选 C.已知双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的离心率为 52 ，故有a2b2a2 54，所以b2a2 14，解得ba 12.故双曲
5、线 C 的渐近线方程为 y12 x.2已知双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的一条渐近线与直线 x0 的夹角为60，若以双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为 8，则双曲线 C 的标准方程为()Ax23 y21 Bx29 y23 1Cx23 y29 1 Dx2y23 1【解析】选 A.双曲线的渐近线为 yba x，因为渐近线与直线 x0 的夹角为 60，所以ba tan 30 33 ，因为以双曲线 C 的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为 8，所以 4 a2b2 8，由，解得 a23，b21.所以双曲线 C 的标准方程为x23 y21.3(2020保定高二检测)已知双曲线
6、 C：x2a2 y24a2 1()a0的右焦点为 F，点 N在 C 的渐近线上(异于原点)，若 M 点满足OF FM，且ON MN0，则|MN|()A2a B 5 a C4a D2 5 a【解析】选 C.不妨设双曲线 C：x2a2 y24a2 1()a0的一条渐近线为 y2x，其斜率为 2，所以 b2a，F(5 a，0).因为 M 点满足OF FM，且ON MN 0，所以 F 是 OM 的中点，且 ONMN，作 FHON 于 H，如图所示：则点 F 到渐近线的距离为|FH|2 5a14 2a，所以|MN|4a.4(2020大庆高二检测)双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦
7、点分别为F1，F2，P 为双曲线左支上一点，且 PF11(OFOP)uuuruur0(O 为坐标原点)，cos PF2F11213，则双曲线 C 的离心率为()A2 B53 C135 D137【解析】选 D.如图，取 PF1的中点为 M，则OM 12 1(OFOP)uuuruur.由1PFuur1(OFOP)uuuruur0，得 1PFuurOM 0，即1PFuurOM.因为 OM 为PF1F2的中位线，所以12PFPFuuruuur 由 cos PF2F11213，设|PF2 12，则|F1F2 13，|PF1 5，所以 2a|PF2|PF1 7，2c|F1F2 13，得双曲线 C 的离心率
8、为ca 137 .二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5(2020济南高二检测)已知动点 P 在双曲线 C：x2y23 1 上，双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1、F2，下列结论正确的是()AC 的离心率为 2BC 的渐近线方程为 y 33xC动点 P 到两条渐近线的距离之积为定值D当动点 P 在双曲线 C 的左支上时，|PF1|PF22 的最大值为14【解析】选 AC.对于双曲线 C：x2y23 1，a1，b 3，c2，所以双曲线 C 的离心率为 eca 2，渐近线方程为 y 3 x，A 选项正确，B选项错误；设点 P
9、的坐标为()x0，y0 ，则 x20 y20 3 1，双曲线 C 的两条渐近线方程分别为 x 33 y0 和 x 33 y0，则点 P 到两条渐近线的距离之积为 x0 33 y01332 x0 33 y01 332 x20 y20 343 34，C 选项正确；当动点 P 在双曲线 C 的左支上时，|PF1 ca1，|PF2 2a|PF1|PF1 2，|PF1|PF22|PF1()|PF1 22|PF1|PF1244|PF1 1|PF1 4|PF1 4 12|PF1 4|PF1 4 18，当且仅当|PF1 2 时，等号成立，所以，|PF1|PF22 的最大值为18，D 选项错误 6(2020济宁
10、高二检测)设双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 分别与双曲线左右两支交于 M，N 两点，以 MN 为直径的圆过 F2，且2MFuuurMN12 MN2，则以下结论正确的是()AF1MF2120B双曲线 C 的离心率为 3C双曲线 C 的渐近线方程为 y 2 xD直线 l 的斜率为 1【解析】选 BC.如图，作 F2DMN 于点 D，则2MFuuurMN 2MFuuuurMN cos F2MNMN MD 12 MN 212 MN 2，所以MD 12 MN ，所以 D 是 MN 的中点，从而|F2M|F2N .根据双曲线定义，得|M
11、F2|MF1 2a，|NF1|NF2 2a，所以|NF1|MF1|MN 4a，又以 MN 为直径的圆过 F2，所以 MF2NF2，MNF2NMF245，于是F1MF2135，A 错；又|MF2|NF2 2 2 a，|NF1 (2 2 2)a，由余弦定理|F1F2 2|NF1 2|NF2 2 2|NF1|NF2 cos 45得 4c2(2 2 a)2(2 2 2)2a222 2 a(2 2 2)a 22 ，化简得c2a2 3，所以 eca 3，B 正确；由c2a2 a2b2a2 3 得b2a2 2，即ba 2，所以渐近线方程为 y 2 x，C 正确；由图易知NF1F2NMF245，所以 kMNt
12、an NF1F2b0)的离心率为14，则双曲线x2a2 y2b2 1 的渐近线方程为_.【解析】因为 eca 14，不妨设 a4，c1，则 b 15，所以对应双曲线的渐近线方程为 yba x 154 x.答案：y 154 x 8(2020六安高二检测)已知双曲线 C：x2a2 y2b2 1()a0，b0的右焦点到渐近线的距离为 3.现有如下条件：双曲线 C 的离心率为54；双曲线 C 与椭圆 C：x236 y211 1 共焦点；双曲线右支上的一点 P 到 F1，F2 的距离之差是虚轴长的43 倍请从上述 3 个条件中任选一个，得到双曲线 C 的方程为_.【解析】依题意，双曲线 C：x2a2 y
13、2b2 1()a0，b0 ，渐近线方程为 yba x，即 bxay0，右焦点()c，0 到渐近线的距离为 3，故|bca2b2 3，即 b3；若选，双曲线 C 的离心率为54，故ca 54；又 b3，且 a2b2c2，所以 a4，c5，故双曲线 C 的方程为x216 y29 1；若选，椭圆 C：x236 y211 1 的焦点坐标为(5，0)，(5，0)，故 c5；又a2b2c2，故 a4，故双曲线 C 的方程为x216 y29 1；若选，依题意，设双曲线 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，故|PF1|PF2 43 2b，故 a4，故双曲线 C 的方程为x216 y29 1.答案：x216 y
14、29 1 四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知 F1，F2 分别是双曲线 E：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，F2 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍(1)求双曲线的渐近线方程；(2)当F1PF260时，PF1F2 的面积为 48 3，求此双曲线的方程【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为 bxay0，则点 F2到渐近线距离为|bc0|b2a2 b(其中 c 是双曲线的半焦距)，所以由题意知 ca2b.又因为 a2b2c2，解得 b43 a，故所求双曲线的渐近线方程是 4x3y0.(2)因为F1PF260，由余弦定理得|PF1|2|P
15、F2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|4c2.又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，相减得|PF1|PF2|4c24a24b2.根据三角形的面积公式得 S12|PF1|PF2|sin 60 34 4b2 3 b248 3，得 b248.再由(1)得 a2 916 b227，故所求双曲线方程是x227 y248 1.10(2020绵阳高二检测)已知双曲线 C：y2a2 x2b2 1(a0，b0)的上焦点为F()0，c.(1)若双曲线 C 是等轴双曲线，且 c2，求双曲线的标
16、准方程；(2)若经过原点且倾斜角为 30的直线 l 与双曲线 C 的上支交于点 A，O 为坐标原点，OAF 是以线段 AF 为底边的等腰三角形，求双曲线 C 的离心率及渐近线方程【解析】(1)由双曲线为等轴双曲线，则 ab，又 c2，则 a2b2c24，所以 a2b22，故双曲线的标准方程为y22 x22 1；(2)由题意得|OA c，又 OA 的倾斜角为 30，A32 c，12c 则 2a32 c212cc232 c212cc2 (3 1)c，a 312 c，所以 e231 3 1，又 e21b2a2，则b2a2 32 3，则渐近线方程为 y132 3 x.【创新迁移】1(2020上饶高二检
17、测)已知 F1，F2 是双曲线 C：x2a2 y2b2 1()a0，b0的左右焦点，过 F1 的直线与圆 x2y2a2 相切，切点为 T，且交双曲线右支于点 P，若12FT=TPuur uur，则双曲线 C 的离心率为()A2 B 13 C 132 D 3【解析】选 C.如图，连接 OT，PF2，由 F1P 与圆 x2y2a2相切于点 T 可得F1TO2 .因为|F1O c，|OT a，故|F1T b，所以 cos PF1F2bc.又|PT 2|F1T 2b，故|F1P 3b，所以|PF2 3b2a.在PF1F2中，由余弦定理得()3b2a 24c29b222c3bbc，整理得 2b3a，所以
18、 4()c2a2 9a2，即ca 132 ，所以 e 132 .2已知 F1，F2 分别为双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，当|PF1|2|PF2|取最小值时，求双曲线的离心率 e 的取值范围【解析】因为双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF1|PF2|2a，|PF1|2a|PF2|，所以|PF1|2|PF2|（2a|PF2|）2|PF2|4a2|PF2|4a|PF2|8a，当且仅当 4a2|PF2|PF2|，即|PF2|2a 时取等号，所以|PF1|2a|PF2|4a，因为|PF1|PF2|2a2c，|PF1|PF2|6a2ceca 3，所以 e(1，3).
