1、第八章圆 锥 曲 线 方 程18.3 抛物线考点搜索抛物线的定义及其标准方程抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线、焦半径等基本性质高考猜想1.求抛物线的标准方程.2.以直线与抛物线或抛物线与其他二次曲线组合为背景，求未知量的值及参变量的取值范围.3.探究或证明抛物线的有关性质.21.平面内与一个定点F和一条定直线l(点F在直线l外)的距离_的点的轨迹叫做抛物线.其中这个定点是抛物线的_；这条定直线是抛物线的_.2.设抛物线的焦点到准线的距离为p，对于下列四个图形：相等焦点准线3这四个图形对应的抛物线的标准方程分别是(1)_;(2)_;(3)_;(4)_.y2=2pxy2=-2pxx2=2py
2、x2=-2py4 3.对于抛物线y2=2px(p0):(1)x的取值范围是_；y的取值范围是_.(2)抛物线关于_对称.(3)抛物线的顶点坐标是_；焦点坐标是_；准线方程是_.(4)抛物线的离心率e=11 _;过焦点且垂直于对称轴的弦长(通径)为 12 _.0,+)Rx轴(0,0)12p5 (5)设点P(x0，y0)在抛物线上，点F为抛物线的焦点，则|PF|=13 _.(6)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线上两点,且AB为抛物线的焦点弦,则y1y2=14 _;x1x2=15 _.4.抛物线y2=ax(a0)的焦点坐标是 16 _;准线方程是 17 _;抛物线x2=ay(a0)的焦
3、点坐标是 18 _;准线方程是 19 _；通径长是 20 _.-p2|a|6盘点指南：相等；焦点；准线；y2=2px;y2=-2px;x2=2py;x2=-2py;0，+);R;x轴;(0，0);11 1;12 2p;13 ;14-p2;15 ;16 ;17;18 ;19 ;20|a|7设a0，aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为()A.(a，0)B.(0，a)C.(0，)D.随a的符号而定解:将y=4ax2化为标准方程为故选C.C8以抛物线y2=2px(p0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()A.相交B.相离 C.相切D.不确定解：利用抛物线的定义知，答案为C.C9已知直线y
4、=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|，则k=()解：抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2，直线y=k(x+2)(k0)恒过定点P(-2,0).10如图，过A、B分别作AMl于M,BNl于N.由|FA|=2|FB|,得|AM|=2|BN|,所以点B为AP的中点.连结OB,则|OB|=|AF|，所以|OB|=|BF|,所以点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,),所以故选D.11题型1 求抛物线方程第一课时12131415161718 2.设抛物线y2=4ax(a0)的焦点为A,以点B(a+4，0)为圆心,|BA|为半径，在x轴上方
5、画半圆,设抛物线与半圆相交于不同两点M、N,点P是MN的中点.(1)求|AM|+|AN|的值;(2)是否存在实数a，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.题型2 以抛物线为背景的求值问题19解：(1)设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M、N、P，则由抛物线的定义，得|AM|+|AN|=|MM|+|NN|=xM+xN+2a.又圆的方程为x-(a+4)2+y2=16，将y2=4ax代入得x2-2(4-a)x+a2+8a=0，所以xM+xN=2(4-a)，所以|AM|+|AN|=8.(2)假设存在这样的a,使得2|AP|AM|+|AN|.因为|AM|
6、+|AN|=|MM|+|NN|=2|PP|，所以|AP|=|PP|.20由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，所以这样的a不存在.点评：抛物线中的长度(或距离)求值问题一般转化为坐标参数问题，或化曲为直(即利用焦半径公式)进行处理.212223 3.河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m.一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船不能通航？解：如图所示，建立直角坐标系.设桥拱抛物线方程为x2=-2py(p0).由题意，将B(4，-5)代入方程得p=1.6，故x2=-3.2y.题型3 抛物线的应用性问题2
7、4船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22=-3.2yA，得yA=-.又知船面露出水面上的部分为m，故答：水面上涨到距抛物线拱顶2 m时，小船不能通航.点评：抛物线的应用性问题，注意选设合适的坐标系，然后利用曲线的方程，转化为代数式的计算问题.25某隧道横截面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图(单位：m).某卡车空车时能通过隧道;现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高 4.5 m，此车能否通过此隧道？请说明理由.解：如图所示，建立直角坐标系xOy.从题设知顶点B的坐标为(0，5),抛物线弧端点A的坐标为(3，2).可设抛物线的方程为x2=-2p(y-5).
8、利用点A(3，)在抛物线上，可确定待定的p值.26故将A点坐标(3，2)代入抛物线方程，得p=.所以x2=-3(y-5).因箱宽为3 m，故只需比较抛物线上的点M(1.5，y0)的纵坐标与车和箱的总高，就可判定此车能否通过隧道.将x=1.5代入抛物线的方程，得y=4.25.因为4.250)或y2=-2px(p0)两种情况求解的麻烦，可以设成y2=mx或x2=ny(m0，n0).若m0，开口向右，m0，开口向左，m有两解，则抛物线的标准方程有两个.2.抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离,即|PF|=|x|+或|PF|y|+,它们在解题中有重要的作用，注意运用.28 3.由于抛物线的标准方程结构简单，对于抛物线上的点的坐标，常根据抛物线方程设出，可以减少运算中字母的个数.4.抛物线的几何性质有如下一些特征：顶点、焦点在对称轴上；准线垂直于对称轴；焦点到准线的距离为p，到顶点的距离为;过焦点垂直于对称轴的弦(通径)的长为2p等.29
