1、第四章函数14.6 三角函数的应用考点搜索与三角函数图象有关的应用题设角为参数，利用三角函数有关知识求最值高考猜想实际应用问题往往与解三角形有关，单纯以纯三角函数作为背景的题不多见.2三角函数应用问题的特点和处理方法 1.三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题.2.三角函数应用题的特点是：实际问题的意义反映在三角形中的边、角关系上;引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题.3.解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题.3设实数x,y,m,n满足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正
2、常数且ab),那么mx+ny的最大值是()解：因为实数x,y,m,n满足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常数且ab)，所以可设4则mx+ny=所以mx+ny的最大值是.故选B.52002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于_.6解：设直角三角形的短边为x，则解得x=3，所以则7如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系为那么单摆来回摆动一次所需的时间
3、为_秒.解：由条件知周期81.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：经过长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b的图象.题型1 与三角函数图象有关的应用题t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.5 0.99 1.59 (1)根据以上数据，求出函数y=Acost+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式;(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放.请根据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行
4、运动?解：(1)由表中数据知，周期T=12，则由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，由t=3，y=1.0，得b=1.0.10由t=3，y=1.0，得b=1.0.所以A=0.5，b=1，所以振幅为12，所以(2)由题知，当y1时才可对冲浪爱好者开放.所以所以所以即12k-3t12k+3(kZ).因为0t24,故可令中的k分别为0,1,2,11得0t3或9t15或21t24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.点评：解决实际应用题的关键在于建立数学模型.若建模已确定时，就化为常规问题，再选择合适的数学方法求解.如本题第(
5、2)问转化为相应的不等式进行解决.12以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的.已知2月份出厂价格最高为8元，8月份出厂价格最低为4元.而该商品在商店内的销售价格是在10元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为12元，11月份销售价最低为8元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪几个月每件盈利可超过6元？并说明理由.13解：由条件可得：出厂价格函数为销售价格函数为则单价利润函数y=y2-y114所以，由得即所以32x-79，即5x8.又因为xN*，所以x=6，7.答：6月、7月这两
6、个月每件盈利超过6元.15 2.水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S.为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应是多大？题型2 反映在三角形或四边形中的实际问题16解：设CD=a,则所以则设两腰与下底之和为l，则因为S，h均为常量，欲求l的最小值，只需求出的最小值.17令则ksin+cos=2，可化为其中因为0sin(+)1，所以所以k23，故kmin=3，此时所以18点评：与多边形有关的实际问题，一般是转化为三角形中的问题，然后利用三角形的边角关系式转化为角的问题，如设角参数，再利用三角函数的性质解决所求问题.19某岛屿观测站C在海岸边灯塔A
7、的南偏西20的方向上.航船B在灯塔A南偏东40的方向上向海岸灯塔A处航行，在C处先测得B离C的距离是31海里，当航船B航行了20海里后，到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还需走多少海里到达海岸边灯塔A处？解：根据题意得右图，其中BC=31千米,BD=20千米,CD=21千米,CAB=60.20设ACD=，CDB=.在CDB中，由余弦定理得：所以在ACD中，由正弦定理得：所以此人还需走15千米到达海岸边灯塔A处.21 3.如图,ABCD是一边长为100 m的正方形地皮,其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在S
8、T上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上.求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.题型3 引进角为参数解决最优化问题(22解：连结AP,设PAB=(090),延长RP交AB于M,则AM=90cos,MP=90sin,所以PQ=MB=100-90cos，PR=MR-MP=100-90sin.所以S矩形PQCR=PQPR=(100-90cos)(100-90sin)=10000-9000(sin+cos)+8100sincos.23令t=sin+cos(1t2)，则所以S矩形PQCR=故当t=时，S矩形PQCR有最小值950m2;当t=时,S矩形PQCR有最大值(14050-9000 )m2.点评：与多边形有关的最值问题，常常构造以角为变量的三角函数，然后利用求三角函数的最值方法求得实际问题的解，同时，注意变量取值的实际意义及范围.24如图，在直径为1的圆O中，作一个关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中yx0.求当为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？25解：设十字形的面积为S，则其中所以，当sin(2-)=1，即2-=，即时，S最大，且26解决与最值有关的三角应用题的基本方法和步骤与函数应用问题处理的方法类似：(1)建立目标函数；(2)求最值.其中关键是建立目标函数时，恰当地假设角为自变量.目标函数建立后，再根据目标函数的特点寻求求最值的方法.27
