1、4.5 解 三 角形考 点考纲解读1正弦定理、余弦定理、内角和定理通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理的证明,并能解决一些简单的三角形度量问题;了解正弦定理、余弦定理与三角形外接圆半径的关系.2解三角形能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.正弦定理、余弦定理在三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题中都起着十分重要的作用,立体几何的空间角以及解析几何的有关角等问题,也会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,预测2013年高考题型一般为客观题或中等难度的解答题.1.斜三角形中各元
2、素间的关系:在ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边,(1)三角形内角和:A+B=-C,=-.(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等=2R(R为外接圆半径).(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2=b2+c2-2bccos A;b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C.(4)正余弦定理的结合:将a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C代入余弦定理可得sin2A+sin2B-sin2C=2sin Asin Bcos C.3.三角形的面积公式:(
3、1)S=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);(2)S=absin C=bcsin A=acsin B;(3)S=2R2sin Asin Bsin C(R为外接圆半径);(4)S=;(5)S=rs.(r为内切圆的半径,s为半周长)1.在ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则BAC的大小为()(A).(B).(C).(D).【答案】A【解析】由余弦定理得:cos BAC=-,BAC=.1.解斜三角形的常规思维方法是:(1)已知两角和一边(如A、B、c),由A+B+C=求C,由正弦定理求a、b;(2)已知两边和夹角(如a、b、C),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=,求另一角;(3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况;(4)已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C=,求角C.2.三角形内切圆的半径:r=,特别地,直角三角形中,r=(其中c为斜边).3.三角形中的射影定理:在ABC中,b=acos C+ccos A,4.两内角与其正弦值的大小比较:在ABC中,ABsin Asin B,5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
