1、课时作业26 正弦定理、余弦定理一、选择题1在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a 13,b3,A60,则边 c 等于()A1 B2 C4 D6C解 析:a2 c2 b2 2cbcosA,13 c2 9 2c3cos60,即 c23c40,解得 c4 或 c1(舍去)2在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c2,b2 3,C30,则 B 等于()A30B60C30或 60D60或 120D解析:c2,b2 3,C30,由正弦定理可得 sinBbsinCc2 3122 32,由 bc,可得 30B180,B60或 B120.3(2020济南模拟)在
2、ABC 中,AC 5,BC 10,cosA2 55,则ABC 的面积为()A.52B5 C10 D.102A解 析:由 AC 5,BC 10,BC2 AB2 AC2 2ACABcosA,得 AB24AB50,解得 AB5,而 sinA1cos2A 55,故 SABC125 5 55 52.故选 A.4(2020湖南湘东六校联考)在ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 b2ac,且 sinC 2sinB,则其最小内角的余弦值为()A 24 B.24 C.5 28 D.34C解析:由 sinC 2sinB 及正弦定理,得 c 2b.又 b2ac,所以 b 2a,所以 c2a,所以
3、 A 为ABC 的最小内角由余弦定理,知 cosAb2c2a22bc 2a22a2a22 2a2a5 28,故选C.5(2019全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asinAbsinB4csinC,cosA14,则bc()A6B5 C4D3A解析:由题意及正弦定理得,b2a24c2,所以由余弦定理得,cosAb2c2a22bc3c22bc 14,得bc6.故选 A.6(2020昆明测试)在平面四边形 ABCD 中,D90,BAD120,AD1,AC2,AB3,则 BC()A.5B.6C.7D2 2C解析:如图,在ACD 中,D90,AD1,AC2,所以CAD60
4、.又BAD120,所以BACBADCAD60.在ABC 中,由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcosBAC7,所以 BC 7.故选 C.7在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知三个向量 ma,cosA2,nb,cosB2,pc,cosC2 共线,则ABC 的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形A解析:向量 ma,cosA2,nb,cosB2 共线,acosB2bcosA2.由正弦定理得 sinAcosB2sinBcosA2.2sinA2cosA2cosB22sinB2cosB2cosA2.则 sinA2sinB2.0A22,0B22,A2
5、B2,即 AB.同理可得 BC.ABC 的形状为等边三角形故选 A.8.(2020银川模拟)在ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 SABC2 3,ab6,acosBbcosAc2cosC,则 c 等于()A2 7B4 C2 3D3 3C解析:acosBbcosAc2cosC,由正弦定理,得 sinAcosBcosAsinB2sinCcosC,sin(AB)sinC2sinCcosC,由于 0C,sinC0,cosC12,C3,SABC2 312absinC 34 ab,ab8,又 ab6,解得a2,b4或a4,b2,c2a2b22abcosC416812,c2 3
6、,故选 C.二、填空题9(2019全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 bsinAacosB0,则 B.34解析:解法 1:依题意与正弦定理得 sinBsinAsinAcosB0,即 sinBcosB,则 tanB1.又 0B,所以 B34.解法 2:由正弦定理得 bsinAasinB,又 bsinAacosB0,所以 asinBacosB0,即 sinBcosB,则 tanB1.又 0B,所以 B34.10在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2c2b2)tanB 3ac,则角 B 的值为.3或23解析:由余弦定理,得a2c2b22acc
7、osB,结合已知等式得 cosBtanB 32,sinB 32,又 0B,B3或23.11(2019浙江卷)在ABC 中,ABC90,AB4,BC3,点 D 在线段 AC 上若BDC45,则 BD,cosABD.12 257 210解析:在 RtABC 中,易得 AC5,sinCABAC45.在BCD中,由正弦定理得 BDBCsinBDCsinBCD 3224512 25,sinDBCsin(BCDBDC)sin(BCDBDC)sinBCDcosBDCcosBCDsinBDC45 22 35 22 7 210.又ABDDBC2,所以 cosABDsinDBC7 210.12若 E,F 是等腰直
8、角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tanECF.34解析:如图,设 AB6,则 AEEFFB2.因为ABC 为等腰直角三角形,所以 ACBC3 2.在ACE 中,A4,AE2,AC3 2,由余弦定理可得 CE 10.同理,在BCF 中可得 CF 10.在CEF 中,由余弦定理得 cosECF 101042 10 1045,sinECF 1cos2ECF35,所以 tanECF34.三、解答题13(2019天津卷)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 bc2a,3csinB4asinC.(1)求 cosB 的值;(2)求 sin2B6 的值解:(1)在A
9、BC中,由正弦定理 bsinB csinC,得bsinCcsinB,又由 3csinB4asinC,得 3bsinC4asinC,即 3b4a.又因为 bc2a,得到 b43a,c23a.由余弦定理可得 cosBa2c2b22aca249a2169 a22a23a14.(2)由(1)可 得 sinB 1cos2B 154,从 而 sin2B 2sinBcosB 158,cos2Bcos2Bsin2B78,故 sin2B6 sin2Bcos6cos2Bsin6 158 32 78123 5716.14(2020湖南湖北八市十二校联考)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,c2.
10、(1)若 A3,b3,求 sinC 的值;(2)若 sinAcos2B2sinBcos2A23sinC,且ABC 的面积 S252sinC,求 a 和 b 的值解:(1)由余弦定理 a2b2c22bccosA,得 a294232127,所以 a 7,由正弦定理 asinA csinC,得 sinC 217.(2)由已知得 sinA1cosB2sinB1cosA23sinC,sinAsinAcosBsinBsinBcosA6sinC,sinAsinBsin(AB)6sinC,sinAsinB5sinC,所以 ab5c10.又 S12absinC252 sinC,所以 ab25.由解得 ab5.1
11、5(2020山东模拟)已知函数 f(x)4sinxcosx6.(1)求 f(x)的单调递增区间;(2)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 fA21,a2,求ABC 面积的最大值解:(1)函数 f(x)4sinxcosx64sinx32 cosx12sinx434 sin2x121cos2x22sin2x6 1.令 2k22x62k2,kZ,求得 k6xk3,kZ,可得函数 f(x)的单调递增区间为k6,k3,kZ.(2)在ABC 中,因为 fA2 2sinA6 11,所以 sinA6 0,又 0A,所以 A6.所以ABC 的面积为12bcsinAbc4.因为 a2,所以
12、由余弦定理可得 a24b2c2 3bc2bc 3bc,所以 bc42 34(2 3),当且仅当 bc 42 3时等号成立所以ABC 的面积为12bcsinAbc4 2 3,故ABC 面积的最大值为 2 3.16(2020湖南师大附中模拟)在如图所示的ABC 中,CAB,角 B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosCAB34,B2CAB,b3.(1)求 a;(2)已知点 M 在边 BC 上,且 AM 平分BAC,求ABM 的面积解:(1)由 0CAB,cosCAB34,得 sinCAB 74,所以 sinBsin2CAB2sinCABcosCAB2 74 343 78.由正弦定理asinCAB bsinB,可得 absinCABsinB2.(2)cosBcos2CAB2cos2CAB12342118.在ABC 中,由余弦定理 b2a2c22accosB,得 2c2c100,解得 c52或 c2(舍去)所以 SABC12bcsinCAB15 716.因为SACMSABM|CM|BM|AC|AB|35265,所以 SABM 511SABC 51115 716 75 7176.