1、课时作业26 正弦定理、余弦定理一、选择题1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a 13，b3，A60，则边 c 等于()A1 B2 C4 D6C解 析：a2 c2 b2 2cbcosA，13 c2 9 2c3cos60，即 c23c40，解得 c4 或 c1(舍去)2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c2，b2 3，C30，则 B 等于()A30B60C30或 60D60或 120D解析：c2，b2 3，C30，由正弦定理可得 sinBbsinCc2 3122 32，由 bc，可得 30B180，B60或 B120.3(2020济南模拟)在
2、ABC 中，AC 5，BC 10，cosA2 55，则ABC 的面积为()A.52B5 C10 D.102A解 析：由 AC 5，BC 10，BC2 AB2 AC2 2ACABcosA，得 AB24AB50，解得 AB5，而 sinA1cos2A 55，故 SABC125 5 55 52.故选 A.4(2020湖南湘东六校联考)在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 b2ac，且 sinC 2sinB，则其最小内角的余弦值为()A 24 B.24 C.5 28 D.34C解析：由 sinC 2sinB 及正弦定理，得 c 2b.又 b2ac，所以 b 2a，所以 c2a，所以
3、 A 为ABC 的最小内角由余弦定理，知 cosAb2c2a22bc 2a22a2a22 2a2a5 28，故选C.5(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 asinAbsinB4csinC，cosA14，则bc()A6B5 C4D3A解析：由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cosAb2c2a22bc3c22bc 14，得bc6.故选 A.6(2020昆明测试)在平面四边形 ABCD 中，D90，BAD120，AD1，AC2，AB3，则 BC()A.5B.6C.7D2 2C解析：如图，在ACD 中，D90，AD1，AC2，所以CAD60
4、.又BAD120，所以BACBADCAD60.在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcosBAC7，所以 BC 7.故选 C.7在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知三个向量 ma，cosA2，nb，cosB2，pc，cosC2 共线，则ABC 的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形A解析：向量 ma，cosA2，nb，cosB2 共线，acosB2bcosA2.由正弦定理得 sinAcosB2sinBcosA2.2sinA2cosA2cosB22sinB2cosB2cosA2.则 sinA2sinB2.0A22，0B22，A2
5、B2，即 AB.同理可得 BC.ABC 的形状为等边三角形故选 A.8.(2020银川模拟)在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 SABC2 3，ab6，acosBbcosAc2cosC，则 c 等于()A2 7B4 C2 3D3 3C解析：acosBbcosAc2cosC，由正弦定理，得 sinAcosBcosAsinB2sinCcosC，sin(AB)sinC2sinCcosC，由于 0C，sinC0，cosC12，C3，SABC2 312absinC 34 ab，ab8，又 ab6，解得a2，b4或a4，b2，c2a2b22abcosC416812，c2 3
6、，故选 C.二、填空题9(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinAacosB0，则 B.34解析：解法 1：依题意与正弦定理得 sinBsinAsinAcosB0，即 sinBcosB，则 tanB1.又 0B，所以 B34.解法 2：由正弦定理得 bsinAasinB，又 bsinAacosB0，所以 asinBacosB0，即 sinBcosB，则 tanB1.又 0B，所以 B34.10在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若(a2c2b2)tanB 3ac，则角 B 的值为.3或23解析：由余弦定理，得a2c2b22acc
7、osB，结合已知等式得 cosBtanB 32，sinB 32，又 0B，B3或23.11(2019浙江卷)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上若BDC45，则 BD，cosABD.12 257 210解析：在 RtABC 中，易得 AC5，sinCABAC45.在BCD中，由正弦定理得 BDBCsinBDCsinBCD 3224512 25，sinDBCsin(BCDBDC)sin(BCDBDC)sinBCDcosBDCcosBCDsinBDC45 22 35 22 7 210.又ABDDBC2，所以 cosABDsinDBC7 210.12若 E，F 是等腰直
8、角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tanECF.34解析：如图，设 AB6，则 AEEFFB2.因为ABC 为等腰直角三角形，所以 ACBC3 2.在ACE 中，A4，AE2，AC3 2，由余弦定理可得 CE 10.同理，在BCF 中可得 CF 10.在CEF 中，由余弦定理得 cosECF 101042 10 1045，sinECF 1cos2ECF35，所以 tanECF34.三、解答题13(2019天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bc2a,3csinB4asinC.(1)求 cosB 的值；(2)求 sin2B6 的值解：(1)在A
9、BC中，由正弦定理 bsinB csinC，得bsinCcsinB，又由 3csinB4asinC，得 3bsinC4asinC，即 3b4a.又因为 bc2a，得到 b43a，c23a.由余弦定理可得 cosBa2c2b22aca249a2169 a22a23a14.(2)由(1)可 得 sinB 1cos2B 154，从 而 sin2B 2sinBcosB 158，cos2Bcos2Bsin2B78，故 sin2B6 sin2Bcos6cos2Bsin6 158 32 78123 5716.14(2020湖南湖北八市十二校联考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c2.
10、(1)若 A3，b3，求 sinC 的值；(2)若 sinAcos2B2sinBcos2A23sinC，且ABC 的面积 S252sinC，求 a 和 b 的值解：(1)由余弦定理 a2b2c22bccosA，得 a294232127，所以 a 7，由正弦定理 asinA csinC，得 sinC 217.(2)由已知得 sinA1cosB2sinB1cosA23sinC，sinAsinAcosBsinBsinBcosA6sinC，sinAsinBsin(AB)6sinC，sinAsinB5sinC，所以 ab5c10.又 S12absinC252 sinC，所以 ab25.由解得 ab5.1
11、5(2020山东模拟)已知函数 f(x)4sinxcosx6.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 fA21，a2，求ABC 面积的最大值解：(1)函数 f(x)4sinxcosx64sinx32 cosx12sinx434 sin2x121cos2x22sin2x6 1.令 2k22x62k2，kZ，求得 k6xk3，kZ，可得函数 f(x)的单调递增区间为k6，k3，kZ.(2)在ABC 中，因为 fA2 2sinA6 11，所以 sinA6 0，又 0A，所以 A6.所以ABC 的面积为12bcsinAbc4.因为 a2，所以
12、由余弦定理可得 a24b2c2 3bc2bc 3bc，所以 bc42 34(2 3)，当且仅当 bc 42 3时等号成立所以ABC 的面积为12bcsinAbc4 2 3，故ABC 面积的最大值为 2 3.16(2020湖南师大附中模拟)在如图所示的ABC 中，CAB，角 B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosCAB34，B2CAB，b3.(1)求 a；(2)已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分BAC，求ABM 的面积解：(1)由 0CAB，cosCAB34，得 sinCAB 74，所以 sinBsin2CAB2sinCABcosCAB2 74 343 78.由正弦定理asinCAB bsinB，可得 absinCABsinB2.(2)cosBcos2CAB2cos2CAB12342118.在ABC 中，由余弦定理 b2a2c22accosB，得 2c2c100，解得 c52或 c2(舍去)所以 SABC12bcsinCAB15 716.因为SACMSABM|CM|BM|AC|AB|35265，所以 SABM 511SABC 51115 716 75 7176.