1、四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则 ABCD2设，则 A2B3CD3若，则的值为 ABCD41614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；
2、1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，则的值约为 A1.322 B1.410 C1.507 D1.6695二项式的展开式中的系数是，则 A1BCD6在中，为的重心，则的值为A1BCD27 函数的图象大致为 A B CD8为了考察、两种药物预防某种疾病的效果，某研究所进行动物试验，已知参与两种药物试验的服药和未服药的动物数量相同，图1是药试验结果对应的等高条形图；图2是药试验结果对应的等高条形图下列说法正确的是A服用药物患病比例高于未服药物的患病比例 B服用药物对预防该疾病没有效果C在对药物的试
3、验中，患病小动物约占总数的 D对该疾病的预防作用药物比药物更有效9已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为 A2BCD310已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于轴对称，设函数的最小正周期为，极大值点为，则的最小值是 ABCD11已知正四棱锥的高为2，过该棱锥高的中点且平行于底面的平面截该正四棱锥所得截面为，若底面与截面的顶点在同一球面上，则该球的表面积为 ABCD12给出下列命题，其中真命题为 用数学归纳法证明不等式时，当时，不等式左边应在的基础上加上；若命题：，则：，；若，则；随机变量，若，则.ABCD第II卷 非选择题（90分）二、 填空题
4、：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的前项和为，则_.14用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_。15已知函数，若，则实数的取值范围是_16已知函，用maxm，n表示m，n中的最大值，设若在上恒成立，则实数a的取值范围为_三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17（12分）在锐角中，内角、所对的边分别为、，且直线为函数图象的一条对称轴（）求；（）若恒成立，求实
5、数的最小值18（12分）为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策.某市拟定出台“房产限购的年龄政策”.为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在2060岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：（1） 由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人.记抽到44岁以上的人数为，求随机变量的分布
6、列及数学期望.参考公式：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819（12分）如图1，在矩形中，点在线段上，.把沿翻折至的位置，平面，连结，点在线段上，如图2.（1）证明：平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.20（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）若不过坐标原点的直线与椭圆相交于、两点，且满足，求面积最大时直线的方程21（12分）已知函数.（1）求函数的极值；（2）是否存在实数a，使方程有两个不同的实数根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任
7、选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在极坐标系中，已知曲线C1：2cos和曲线C2：cos3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值23选修4-5：不等式选讲（10分）已知均为实数，且 .（）求的最小值；（）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 2020年秋四川省叙州区第一中学高三第一学月考试理科数学参考答案1B2D3C4A5B6A7D8D9B10A11A12C13771440151617（）
8、由，得，则，所以，又，因此，当时，（）由正弦定理得，记，当时，即最小值为218（1）由统计数据填列联表如下：44岁以下44岁及44岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100计算观测值，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；（2）由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人，根据题意，的可能取值是0，1，2，可得随机变量X的分布列为：012故数学期望为.19（1）依题意得，在矩形中，所以，.在线段上取一点，满足，又因为，所以，故，又因为，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平
9、面，平面，所以平面.（2）设到平面的距离为，又，所以，故要使三棱锥的体积取到最大值，仅需取到最大值.取的中点，连结，依题意得，则，因为平面平面，平面，故当平面平面时，平面，.即当且仅当平面平面时，取得最大值，此时.如图，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，得，设是平面的一个法向量，则得令，解得，又因为平面的一个法向量为，所以，因为为钝角，所以其余弦值等于20(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为;(2)由题意可知,直线的斜率显然存在,设直线的方程为,由得,所以,所以,因为,所以,所以,代入得且,所以,当且仅当,即时上式取等号,此时符合题意,所以直线的方程为.21解：（1
10、）由题意知的定义域为，.当时，所以函数在上单调递减，此时函数无极值当时，令，得.当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增.此时，函数有极小值，为，无极大值.综上，当时，函数无极值；当时，函数有极小值，无极大值.（2）假设存在实数a，使得方程有两个不同的实数根，即函数有两个不同的零点.当时，由（1）知函数在上单调递减，所以方程不存在两个不同的实数根.当时，.因为，所以由（1）知.，令，则，所以在上单调递减，所以，所以.此时，函数在上也有一个零点，所以，当时，函数有两个不同的零点.当时，此时函数仅有一个零点.当时，因为，所以由（1）知.令函数，则，当时，单调递增，所以当时，所以，则.又，所以函数在上也有一个零点，所以，当时，函数有两个不同的零点综上所述，当时，函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根22PQOP，PQ过点A(2，0)，设直线PQ的参数方程为 (t为参数)，代入C1可得t22tcos 0，解得t10，t22cos ，可知|AP|t2|2cos |.代入C2可得2tcos 3，解得t，可知|AQ|t|，|PQ|AP|AQ|2cos |，当且仅当|2cos | 时取等号，线段PQ长度的最小值为23解：（）因为所以，当且仅当，即，或时取等号，即的最小值为（）由（）知对任意的恒成立，或，或 ，或所以实数的取值范围为
