1、3.1.2 空间向量的数乘运算一、空间向量的数乘运算1.实数与空间向量a的乘积_仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.2.对于a与a，当：(1)0时，a与a方向_.(2)0时，a与a方向_.(3)=0时，a=_.a相同相反03.空间向量的数乘运算满足：(1)分配律：(a+b)=_(R).(2)结合律：(a)=_(,R).思考：类比平面向量，空间向量的数乘运算满足：(+)a=a+a(,R)，对吗？提示：正确类比平面向量的运算律可知a+b()a二、共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线_的向量_同一个平面的向量定理对空间任意两个向量a，b(b0),ab的充要条
2、件是存在实数，使_ 若两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使_ 互相平行或重合平行于a=bp=xa+yb共线(平行)向量共面向量推论如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使其中向量a叫做直线l的_，如图所示：若在l上取则式可化为_如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使_或对空间任意一点O有方向向量判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)若p=x a+y b，则p与a，b共面.()(2)若p与a，b共面，则p=x a+y b.()(3)若
3、则P，M，A，B共面.()(4)若P，M，A，B共面，则()提示：(1)正确.若p=x a+y b,则p与a,b共面是正确的，是由共面向量基本定理得到的.(2)不正确.当a,b共线，而p与a，b不共线时，p=x a+y b是不成立的.(3)正确.是共面向量的充要条件.(4)不正确.当共线，而不共线时，不成立.答案：(1)(2)(3)(4)【知识点拨】1.对空间向量数乘运算的认识(1)类比平面向量，空间中任意实数与向量a的乘积a仍然是一个向量，所以它既有大小又有方向，大小为|a|的|倍，方向取决于的正负.(2)注意，实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如+a,-a无意义.2.对共线向量的认
4、识(1)两向量a,b共线(平行)，表示a,b的两条有向线段所在的直线既可以是同一条直线，也可以是平行直线，即“两向量共线”并非一定在同一条直线上(2)共线向量定理中的实数是唯一的，条件b0不可忽视，否则不唯一(3)零向量与空间任意向量均共线3.对向量共面的充要条件及其应用的三点说明(1)空间一点P位于平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对(x,y),使满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.(2)向量共面的充要条件是判断三个向量是否共面的依据，也可用来把已知共面条件转化为向量式，以便应用向量这一工具.另外，在许多情况
5、下，可以用“若存在有序实数组(x,y,z),使得对于空间任意一点O，都有且x+y+z=1成立，则P，A，B，C四点共面”作为判定空间中四点共面的依据.(3)空间向量共面的其他判定方法三个非零向量a,b,c,其中无两者共线，那么它们共面的充要条件是存在三个非零实数l,m,n,使la+mb+nc=0.类型 一空间向量的数乘运算【典型例题】1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若则下列向量中与BM相等的向量是()2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.(1)化简：(2)设E是棱DD1上的点，且试求x,y,z的值.【解题探究】1题1中与
6、相等的向量应具备什么条件？2如何求得2(2)中的x,y,z的值？探究提示：1把用a,b,c表示后与其相等.2将转化为的线性表示，比较系数即可【解析】1选A.方法一：方法二：2.(1)(2)【互动探究】若题1条件不变，所求问题改为：若则x+y+z=_.【解析】答案：2【拓展提升】空间向量数乘运算的方法及注意点(1)空间向量的数乘运算是线性运算的一种，其实质是空间向量的加减运算.(2)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(3)运用空间向量的数乘运算律可使运算简便，注意与实数的有关运算律区别清楚.运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘
7、法运算.【变式训练】如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设分别是AA1,BC,C1D1的中点，试用a,b,c表示向量：【解题指南】将所求向量置于适当的三角形或多边形中，利用三角形法则、平行四边形法则或首尾相接的方法，将所求向量表示出来，然后化简整理.【解析】(1)N是BC的中点，(2)M是AA1的中点，类型 二空间向量共线定理的理解应用【典型例题】1.设e1,e2是空间两个不共线的向量，若且A,B,D三点共线，则实数k=_.2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且F在对角线A1C上，且求证：E，F，B三点共线.【解题探究】1若空间中三点共线，可以得
8、出什么结论？2判断或证明三点是否共线的主要依据是什么？探究提示：1任意两点构成的向量必共线(平行)2主要依据是向量共线的充要条件，看是否能找到有同一端点的两向量具有a=b(b0,R)的关系，若存在，则三点共线，否则三点不共线【解析】1.A,B,D三点共线，e1,e2是不共线的向量，答案：12设又所以E，F，B三点共线.【拓展提升】利用共线向量定理可解决的主要问题及方法(1)判定共线:判定两向量a,b(b0)是否共线，即判断是否存在实数，使a=b.(2)求解参数:已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用“若ab，则a=b(R)”.(3)判定或证明三点(如P,A,B)是否共线：考察是否存在实数
9、，使考察对空间任意一点O，是否有考察对空间任意一点O，是否有【变式训练】已知向量c,d不共线，设向量a=kc+d，b=c-k2d，若a与b共线，则实数k的值为_.【解析】c,d不共线，c0且d0.a与b共线，存在实数,使得a=b成立，即kc+d=(c-k2d),整理，得(k-)c+(1+k2)d=0.c0,d0,解得k=-1.答案：-1类型 三空间向量共面定理的理解应用【典型例题】1.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外任意一点O，则(1)、(2)两个条件可以确定点P与点A，B，M一定共面的是_.(填序号)2.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接
10、PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.【解题探究】1解答题1，判断P与A，B，M是否共面的依据是什么？2解答题2的关键点是什么？探究提示：1根据共面向量定理，看能否存在有序实数组(,k)，使其中+k=1.2.关键是能找到有序实数对(x,y)，使成立.【解析】1.(1)点P与点A,B,M共面.(2)4+(-1)+(-1)=21,P与点A，B，M不共面.答案：(1)2.分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，E，F，G，H分别是所在三角形的重心，M，N，Q，R
11、是所在边的中点，且由题意知四边形MNQR是平行四边形，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面.【拓展提升】利用共面向量定理需注意的问题在利用p与a,b共面时，一定注意a,b不能共线，而利用与a,b共面则不需要a,b不共线的条件.向量共面的充要条件是处理向量共面问题的主要依据.【变式训练】已知A,B,C三点不共线，对于平面ABC外一点O，若则点P是否与A，B，C一定共面？试说明理由.【解析】P与A,B,C共面，理由如下：由于所以故A，B，C，P四点共面.空间共线定理与共面向量定理的具体应用【典型例题】1.如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是BD的中点，求证：
12、MND1C.2.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，CD=2，E，E1,F分别是棱AD，AA1,AB的中点.证明：直线EE1平面FCC1.【证明】1.M,N分别是AD1,BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，则N为AC的中点,2.根据题意AB=2CD，且同向，F是AB的中点，四边形AFCD是平行四边形.E，E1分别是AD，AA1的中点，又不共线，根据向量共面的充要条件可知共面.EE1不在平面FCC1内，EE1平面FCC1.【拓展提升】空间中的线与线、线与面平行的向量证法(1)线线平行:根据共线定理证明两直线的方向向量平行，则
13、两直线平行.(2)线面平行:根据共面定理，证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面；由线线平行证得线面平行.【规范解答】空间向量的线性运算【典例】【条件分析】【规范解答】MC=2AM,A1N=2ND,【失分警示】【防范措施】1.准确理解数乘运算在数乘运算时，一定要明确数乘运算的含义，知道数乘向量a与向量a的关系，同时注意共线向量定理的应用.2.熟练进行空间向量的线性运算向量的加减与数乘运算称为向量的线性运算在进行空间向量的线性表示时，要熟悉向量运算的平行四边形和三角形法则以及向量加法的多边形法则，如本例中处的运算，就充分体现了该点.【类题试解】如图，在三棱锥O-ABC中，点E在OA上，且
14、F为BC的中点，用向量a,b,c表示向量【解析】方法一：F为BC的中点，方法二：F为BC的中点，1.已知两非零向量e1，e2不共线，设ae1e2(,R且220)，则()A.ae1 B.ae2C.a与e1，e2共面D.以上三种情况均有可能【解析】选D当0，0时，ae2，则ae2；当0，0时，ae1，则ae1；当0，0时，a与e1，e2共面2.在下列条件下，使M与A，B，C一定共面的是()【解析】选C.C中故M，A，B，C四点共面.3.若e1,e2不共线，则下列各组中的两个向量a,b共线的是()【解析】选C.令a=b,求的值，若的值存在，则a与b共线，否则两个向量不共线，选项C中有b=6a.4.在正四面体OABC中，若G是OBC的重心，则(用a,b,c表示).【解析】如图所示，在正四面体OABC中，答案：5.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：其中x,y是实数，若点M与A，B，C四点共面，则x+y=_.【解析】根据向量共面定理，若点M与A，B，C四点共面，则有答案：6.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M,N分别为BC,PD的中点，求满足的实数x，y，z的值.【解析】
