1、1三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算掌握任意的角 的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域2同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式 sin2 cos21 巧妙解题3诱导公式能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力的目的4三角函
2、数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR(k2，k2)(kZ)值域 1,11,1(，)最值x2k2(kZ)时，ymax1；x2k2(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1无最大、最小值周期性周期 T2k(kZ)周期 T2k(kZ)周期 Tk(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性在2k2，2k2(kZ)上都是增函数；在2k2，2k32 (kZ)上都是减函数在2k，2k(kZ)上都是增函数；在2k，2k(kZ)上都是减函数在每个区间（k2，k2)(kZ)上都是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是 xk2，kZ；中心对称图形，对称
3、中心(k，0)(kZ)轴对称图形，对称轴方程是 xk，kZ；中心对称图形，对称中心k2，0(kZ)中心对称图形，对称中心k2，0(kZ)5.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等能从三角函数的图象归纳出函数的性质(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想，将综合性较强的试题完整准确地进行解答.题型一 任意角的三角函数的定义及三
4、角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域例 1 求函数 y sin xcos x12的定义域解 由题意知sin x0，cos x120，即sin x0，cos x12，如图，结合三角函数线知：2kx2kkZ，2k3x2k3kZ，解得 2kx2k3(kZ)，所以函数的定义域为x|2kx2k3，kZ.跟踪演练 1 设 f(x)12sin x.(1)求 f(x)的定义域；(2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值解(1)由 12sin x0，根据正弦函数图象知：定义域为x|2k5
5、6x2k136，kZ(2)1sin x1，112sin x3，12sin x0，012sin x3，f(x)的值域为0，3，当 x2k32，kZ 时，f(x)取得最大值题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式 sin2 cos21 及sin cos tan，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用(2)诱导公式可概括为 k2(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的
6、变化若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变符号看象限是指把 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号例 2 已知 2tan1tan24，求(sin 3cos)(cos sin)的值解 方法一 由已知2tan 1tan 4，2tan 4(1tan)，解得 tan 2.(sin 3cos)(cos sin)4sin cos sin2 3cos24sin cos sin2 3cos2sin2 cos24tan tan23tan2184341 15.方法二 由已知2tan 1tan 4，解得 tan 2.即sin cos 2，sin 2cos.(sin 3co
7、s)(cos sin)(2cos 3cos)(cos 2cos)cos2cos2sin2 cos21tan2115.跟踪演练 2 已知 是三角形的内角，且 sin cos 15.(1)求 tan 的值；(2)把1cos2 sin2 用 tan 表示出来，并求其值解(1)方法一 联立方程sin cos 15，sin2 cos2 1；由得 cos 15sin，将其代入，整理得 25sin2 5sin 120.是三角形内角，sin 0，sin 45，cos 35，tan 43.方法二 sin cos 15，(sin cos)2 152，即 12sin cos 125，2sin cos 2425，(s
8、in cos)212sin cos 124254925.sin cos 12250 且 0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos 75，由sin cos 15，sin cos 75，得sin 45，cos 35，tan 43.(2)1cos2sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos2sin2cos2tan211tan2，tan 43，1cos2sin2tan211tan243211432257.题型三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确
9、定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质具体要求：(1)用“五点法”作 yAsin(x)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令 x0，2，32，2.(2)对于 yAsin(x)b 的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别(3)由已知函数图象求函数 yAsin(x)(A0，0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定 A，由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，但由图象求得的 yAsin(x)(A0，0)的解析式一般不是唯一的，只有限定 的取值范围，才能得出唯一的解，否则 的值不确定，解析式也就不唯一例 3 已知函数 f(x)Asi
10、n(x)(A0，0)在一个周期内的图象如图(1)求 yf(x)的解析式；(2)若函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x2对称，求yg(x)的解析式解(1)由题意，知 A2，T7(1)8，故 2T 4.图象过点(1,0)，40.4.所求的函数解析式为 f(x)2sin4x4.(2)g(x)与 f(x)的图象关于直线 x2 对称，g(x)的图象是由 f(x)沿 x 轴平移得到的，找出 f(x)上的点(1,2)关于直线 x2 的对称点(3,2)，代入 g(x)2sin4x 得 4，g(x)的解析式为 g(x)2sin4x4.跟踪演练 3 已知函数 f(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式
11、可能为()Af(x)2sinx26Bf(x)2cos4x4Cf(x)2cosx23Df(x)2sin4x6答案 C解析 由图象知周期 T4，则 12，排除 B、D；由 f(0)1，可排除 A.题型四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握 ysin x，ycos x，ytan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数 yAsin(x)，yAcos(x)及 yAtan(x)的相关性质在研究其相关性质时，将 x 看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧例 4 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对任意实数 x 满足 f(x2)f(x)，且 f(x)在3，2上单
12、调递减，而，是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin)f(cos)证明 f(x2)f(x)，yf(x)的周期为 2.f(x)在1,0与3，2上的单调性相同f(x)在1,0上单调递减f(x)是偶函数，f(x)在0,1上的单调性与1,0上的单调性相反f(x)在0,1上单调递增，是锐角三角形的两个内角，2，2，且 0，2，20，2.又ysin x 在0，2 上单调递增，sin sin2 cos，即 sin cos.由，得 f(sin)f(cos)跟踪演练 4 已知 a0，函数 f(x)2asin2x6 2ab，当 x0，2 时，5f(x)1.(1)求常数 a，b 的值；(2)设 g(x)fx2 且
13、lg g(x)0，求 g(x)的单调区间解(1)x0，2，2x66，76.sin2x6 12，1，2asin2x6 2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此 a2，b5.(2)由(1)得 a2，b5，f(x)4sin2x6 1，g(x)fx2 4sin2x76 14sin2x6 1，又由 lg g(x)0 得 g(x)1，4sin2x6 11，sin2x6 12，2k62x62k56，kZ，其中当 2k62x62k2，kZ 时，g(x)单调递增，即 kxk6，kZ，g(x)的单调增区间为k，k6，kZ.又当 2k22x62k56，kZ 时，g(x)单调递减，即 k6xk3，kZ.g(x)的单调减区间为k6，k3，kZ.三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法
