1、首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场想一想：两点间的距离(1)点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|x2x12y2y12.(2)坐标法：步骤：建立坐标系，用坐标表示有关的量；进行有关代数运算；把代数运算结果“翻译”成几何关系首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场做一做：1已知ABC 的顶点 A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC 的周长是(C)(A)2 3 (B)32 3(C)63 2 (D)6 10解析：|AB|2123
2、23 2，|BC|21203，|AC|222323，则ABC 的周长为 63 2.故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2已知 A(2,1)，B(1，b)，|AB|5，则 b 等于(C)(A)3 (B)5(C)3 或 5 (D)1 或3解析：|AB|2(21)2(1b)225，即 1b4，b3 或 5，故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，线段 AB 的中点 M(3,4)，则|AB|等于(A)(A)10 (B)5 (C)8 (D)6解析：A(6,0)、B(0,8)，|AB|06280210.故选 A.
3、首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4已知ABC 的顶点坐标为 A(7,8)、B(10,4)、C(2，4)，则 BC 边上的中线 AM 的长为_解析：BC 的中点 M(6,0)，|AM|672082 65.答案：65首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点一：坐标法(解析法)几何问题可以将之代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题处理、分析代数问题的几何含义，最终是解决几何问题，这种处理问题的方法叫做坐标法(或解析法)，通过这种方法，把点与坐标，曲线与方程联系起来，实现空间形式
4、与数量关系的结合此思路可用下图表示：知识要点二：平面上两点之间的距离公式的几点说明1P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式可写为|P1P2|x1x22y1y22.当直线 P1P2 平行于 x 轴时，|P1P2|x2x1|；当直线 P1P2 平行于 y 轴时，|P1P2|y2y1|；当 P1，P2中有一个是原点时，不妨设 P1在原点，则|P1P2|x22y22；当 P1，P2在直线 ykxb 上时，|P1P2|1k2|x1x2|.2求任意两点间的距离的方法和步骤(1)给两点的坐标赋值，即 x1，x2，y1，y2分别等于多少；(2)计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即 xx2
5、x1，yy2y1；(3)计算 d x 2y2，即得所求距离首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场两点间距离公式的应用【例 1】已知ABC 的三个顶点坐标为 A(3,1)，B(3，3)，C(1，7)，(1)求 BC 边上的中线 AM 的长；(2)证明ABC 为等腰直角三角形思路点拨：(1)已知 A 点的坐标，欲求中线 AM 的长，只需求出点 M的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可；(2)两点距离公式结合勾股定理(1)解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M为 BC 的中点，所以 x312 2，y3722，即点 M 的坐标为
6、(2,2)由两点间的距离公式得|AM|322122 26，所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.(2)证明：根据题意可得，|AB|3321322 13，|BC|1327322 26，|AC|3121722 13，所以|AB|AC|，且|AB|2|AC|2|BC|2，所以ABC 为等腰直角三角形中点的坐标公式经常用到，要牢牢记住两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题，根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练 11：在直线 l：xy40 上求一点 P，使点 P 到 A(2，4)、B(4,6)
7、的距离相等解：法一：设点 P 的坐标为(x0，y0)，则 y0 x04，即点 P 的坐标为(x0，x04)由|PA|PB|，得x022x0442 x042x0462，x02 2x082 x042x022，解得 x032.点 P 的坐标为(32，52)法二：由|PA|PB|，知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，kAB644253，AB 的中点为(1,1)，线段 AB 的垂直平分线的方程为 y135(x1)，即 3x5y80.由3x5y80 xy40，得x32y52.点 P 的坐标为(32，52)首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场坐标法证明几何问题【例 2】如图，在ABC 中
8、，|AB|AC|，D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合)，求证：|AB|2|AD|2|BD|DC|.思路点拨：建立适当的平面直角坐标系，设出三角形顶点的坐标，利用两点间的距离公式证明首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场证明：如图，以 BC 的中点 O 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设 A(0，b)、B(a,0)，C(a,0)，D(t,0)，ata，则|AB|2(a0)2(0b)2a2b2，|AD|2(t0)2(0b)2t2b2，|BD|DC|(at)(at)a2t2，|AD|2|BD|DC|t2b2a2t2a2b2，|AB|2|AD|2|BD
9、|DC|.(1)坐标法解决几何问题的步骤：第一步，建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步，进行有关的代数运算；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何关系(2)建系的原则：使尽可能多的点在坐标轴上；充分利用图形的对称性首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场两点间距离公式在最值中的应用【例 3】求函数 y|x22x5x24x5|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时 x 的值思路点拨：本题若按一般的求最值的方法很难找到思路若把根式转化为两点间的距离，利用数形结合思想，则很容易求得 y 的最大值与最小值首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解：将已知条件变形为y|x122
10、2 x2212|x12022 x22012|.故设 M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，原函数变为 y|MA|MB|.则上式的几何意义为：x 轴上的点 M(x，0)到定点 A(1,2)与点 B(2,1)的距离的差的绝对值，如图可知，当|AM|BM|时，y 取最小值 0.即 x124 x221，解得 x0，此时点 M 在坐标原点，y 最小0.又由三角形性质可知|MA|MB|AB|，即当|MA|MB|AB|，也即是当 A、B、M三点共线时，y 取最大值由已知得 AB 的方程为 y2(x1)，即 yx3，令 y0 得 x3，当 x3 时，y 最大|AB|212122 2.一般地，根式能化成两个
11、完全平方式之和(差)的问题，均可借助于两点间距离公式，利用数形结合的思想来解决，这也正是本题解法创新之处首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练 31：已知函数 f(x)x22x2 x24x8，求 f(x)的最小值；并求取得最小值时 x 的值解：f(x)x22x2 x24x8 x12012 x22022，它表示点 P(x,0)与点 A(1,1)的距离加上点 P(x,0)与点 B(2,2)的距离之和，即在 x 轴上求一点 P(x,0)与点 A(1,1)、B(2,2)的距离之和的最小值由图可知，转化为求两点 A(1，1)和 B(2,2)间的距离，其距离为函数 f(x)的最小值f
12、(x)的最小值为 122122 10.再由直线方程的两点式得 AB 的方程为 3xy40.令 y0 得 x43.当 x43时，f(x)有最小值，最小值为 10.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解析：|AB|512542 17，|BC|4121423 2，|AC|54251217.故选 B.基础达标1以 A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(B)(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2甲船在某港口的东 50 km，北 3
13、0 km 处，乙船在同一港口的东 14 km，南 18 km 处，那么甲、乙两船的距离是(C)(A)12 10 km (B)16 5 km(C)60 km (D)80 km解析：以港口为坐标原点，正北，正东方向分别为 y 轴、x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则甲、乙坐标分别为(50,30)，(14，18)，甲乙两船的距离为 5014230182 36248260 km.故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3点 M(x，xy)、N(y，xy)之间的距离为(A)(A)|xy|(B)xy(C)|xy|(D)xy解析：MNxy2 xy xy2 x22xyy2|xy|.故选
14、 A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4光线从点 A(3,5)射到 x 轴上，经反射以后经过点 B(2,10)，则光线从 A 走到 B 的距离为(C)(A)5 2 (B)2 5 (C)5 10 (D)10 5解析：涉及光的反射问题，都可以转化为数学中的对称问题求解，点 A(3,5)关于 x 轴的对称点是 A(3，5)，于是|AB|即为所求距离，由两点间距离公式易求得|AB|5 10.故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场5已知点 A(2，1)，B(7，2)，若 y 轴上有一点 P 满足|PA|PB|，则点 P 的坐标为_解析：设 P 点坐标为(0，y
15、)，则由两点间的距离公式得|PA|y124 y22y5，|PB|y220 72 y24y11.由|PA|PB|可得 y22y5y24y11，y1，即 P(0,1)答案：(0,1)首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场6已知 M(1,0)、N(1,0)，点 P 为直线 2xy10 上的动点，则|PM|2|PN|2 的最小值为_解析：设 P 的坐标为(t,2t1)，则|PM|2|PN|2(t1)2(2t1)2(t1)2(2t1)210t28t410(t25)2125 125.答案：125首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场能力提升7点 P(2,1)到直线(2k1)x(
16、k3)y(k11)0(kR)的最远距离为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场8两直线 l1：3axy20 和 l2：(2a1)x5ay10 分别过定点 A、B，则|AB|等于(C)(A)895 (B)175 (C)135 (D)115解析：直线 l1：y3ax2 过定点 A(0，2)，直线 l2：a(2x5y)(x1)0 过定点 B(1，25)，|AB|1022522135.故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场9点 P在 x 轴上，点 A(0,2)、B(1,1)，则|PA|PB|的最小值是_解析：A(0,2)
17、关于 x 轴的对称点 A(0，2)，|PA|PB|PA|PB|AB|，|AB|102122 10，当 A、P、B 三点共线时，|PA|PB|取最小值 10.答案：10首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场探究创新10已知直线 l 过点 P(3,1)，且被两平行直线 l1：xy10 和 l2：xy60 截得的线段长为 5，求直线 l 的方程解：(1)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x3 与直线 l1、l2 的交点分别为 A(3，4)、B(3，9)，|AB|4(9)|5，满足题意(2)若直线 l 的斜率存在，则可设直线 l 的方程为 y1k(x3)，k1，由xy10y1kx3，解得x3k2k1y4k1k1，首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场即直线 l 与直线 l1的交点为 M(3k2k1，4k1k1)由xy60y1kx3，解得x3k7k1y9k1k1，即直线 l 与直线 l2的交点为 N(3k7k1，9k1k1)|MN|5，(3k2k1 3k7k1)24k1k1(9k1k1)225，解得 k0.直线 l 的方程为 y1.综上，直线 l 的方程为 x3 或 y1.
