1、第七节 抛物线基础梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_2.抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)图形性质范围_准线方程x=_x=_焦点_对称轴关于_对称顶点_离心率e=_标准方程 x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形性质范围_准线方程y=_y=_焦点_对称轴关于_对称顶点_离心率e=_3.抛物线的焦半径、焦点弦(1)y2=2px(p 0)的焦半径|PF|=；x2=2py(p 0)的焦半径|PF|=.(2)过焦点的所有弦中最短的弦，也被
2、称做通径其长度为_(3)AB为抛物线y2=2px的焦点弦，则xAxB=p2/4，yAyB=-p2，|AB|=xA+xB+p.答案：1.相等 焦点 准线 2.x0，yRx0，yR-F Fx轴 O(0,0)1y0，xRy0，xR-FFy轴 O(0,0)13.(2)2p基础达标1.(教材改编题)抛物线y=x2的准线方程是()A.4y+1=0B.4x+1=0C.2y+1=0 D.2x+1=02.(教材改编题)以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x3.(
3、2010湖南)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4 B.6C.8 D.124.连接抛物线x2=4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点 A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为()A.-1+B.3/2-C.1+D.3/2+5.(2010上海)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为_.答案：1.A 解析：p=，准线方程为y=-=-，即4y+1=0.2.D 解析：圆心为(1，-3)，设x2=2py，则p=-，即x2=-y；设y2=2px，则p=，即y2=9x.3.B 解析：点P到y轴的距离为4，则到
4、准线的距离为6，因此，点P到焦点的距离为6，选B.4.B 解析：线段FM所在直线方程x+y=1与抛物线交于A(x0，y0)，则y0=3-2 ，SOAM=*1*(3-2 )=-，选B.5.y2=8x 解析：定义知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，p=4，所以其方程为y2=8x.经典例题题型一 抛物线的定义及应用【例1】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标解：将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=.2，点A位置如图设抛物线上点P到准线l：x=-的距离为d，由定义，知|PA|+|PF|=|PA|+d
5、，当PAl时，|PA|+d最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，此时P点的纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，即点P的坐标为(2,2)变式1-1(2011广东东莞五校联考)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=()A.4 B.8 C.8 D.16答案：B解析：设A(-2，b)，则kAF=-，所以b=4 ，把(x,4 )代入y2=8x，得x=6，所以P(6,4 )，所以|PF|=6+2=8.题型二 抛物线的几何性质和标准方程【例2】已知抛物线C的顶点在原点，焦点 F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个
6、动点(AB不垂直于x轴)，但|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求抛物线的方程解：设抛物线的方程为y2=2px(p0)，其准线为x=-.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|+|BF|=8，所以x1+x2+=8，即x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上，所以由点Q到A、B两点距离相等易得(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为AB与x轴不垂直，所以x1x2，故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0，即p=4.从而抛物线方程为y2=8x.变式2-1 分别求满足下列条件的抛物线方程(1)抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴
7、，抛物线上一点P(-3，a)到焦点的距离为5；(2)以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，并且经过点P(-2，-4)解：(1)由已知设所求抛物线方程为y2=-2px(p0)，则准线方程为x=，因为抛物线上点P(-3，a)到焦点的距离为5，由定义知+3=5，从而得p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x.(2)由于抛物线过点P(-2，-4)，故设方程为y2=-2p1x(p10)或x2=-2p2y(p20)，将点P(-2，-4)代入得p1=4，p2=，故所求的抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.题型三 直线与抛物线【例3】已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x
8、2，y2)两点求证：(1)x1x2为定值；(2)为定值证明：(1)抛物线y2=2px的焦点为F ，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k (k 0)由消去y，整理得k2x2-p(k2+2)x+=0.由韦达定理，得x1x2=(定值)当ABx轴时，x1=x2=，x1x2=也成立(2)由抛物线的定义知，|FA|=x1+，|FB|=x2+.变式3-1 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2,2)则直线l的方程为_答案：y=x解析：由焦点F(1,0)知抛物线的方程为y2=4x.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-
9、2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得(kx+2-2k)2=4x，整理得k2x2+(4k-4k2-4)x+(2-2k)2=0，即=-=2，解得k=1，则直线l的方程为y=x.当斜率不存在时的直线不合题意题型四 抛物线的应用【例4】一水渠的横截面如图所示，它的横截面边界AOB是抛物线的一段，已知渠宽AB为2 m，渠深OC为1.5 m，水面EF距AB为0.5 m求水面EF的宽度解：建立如图所示的直角坐标系，则A(-1,1.5)，B(1，1.5)，C(0,1.5)设抛物线方程为x2=2py(p0)，把点A(-1，1.5)代入方程，得1=2p1.5，即p=，所以抛物线方程为x2=y
10、，由点E的纵坐标为1，得点E的横坐标为-，所以水面EF的宽度为m.易错警示【例1】抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3，求抛物线的方程错解 准线方程为x=-m/4，因为准线与直线x=1的距离为3，所以准线方程为x=-2.则-m/4=-2，所以m=8，所以抛物线方程为y2=8x.错解分析 本题错误在于忽视了一次项系数m的正负，以为只有m0这种情况，其实m0时，准线方程为x=-=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y2=8x.当m0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2 知识准备：1.利用“点差法”求解可简化解题过程；2.会利用斜率公式和中点坐标公式求解正解：B解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y21=2px1，y22=2px2，两式相减得：(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)，又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=-=-1，故选B.
