1、第十讲对数与对数函数回归课本1.对数概念(1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数,记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)对数性质零和负数没有对数,即N0;1的对数为0,即loga1=0(a0且a1);底的对数等于1,即logaa=1(a0且a1).(3)对数恒等式:alogaN=N(a0且a1,N0).(4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数log10N简记为lgN.(5)自然对数:以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对数,N的自然对数logeN简记作lnN.2.对数的运算性质如果a0且a1,M0,N0,那么4.对数函
2、数的定义一般地,函数y=logax(a0,a1,x0)叫做对数函数,它的定义域为(0,+),值域为R.5.对数函数的图象与性质y=logaxa10a1时,y0;当x1时,y0;当0 x1时,y0当0 x0在(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数x的图象关于x轴对称6.反函数指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=logax(a0,a1,x0)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.考点陪练1.已知函数的定义域为M,g(x)=ln(x+1)的定义域N,则MN=()A.x|x-1B.x|-1x1C.x|x0,即x1,所以f(x)的定义域为x|x0,x-1,所以g(x)的定义域为x|x-1
3、.所以MN=x|-1x1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系为()A.nmpB.mpnC.mnpD.pmn解析:因为2a-(a-1)=a+1,且a1,所以2a-(a-1)0,即2aa-10;又a2+1-2a=(a-1)2,则a2+12a0.因为a1,所以函数y=logax在(0,+)上是增函数,所以loga(a2+1)loga(2a)loga(a-1),所以mpn,故选B.答案:B3.下列四个数中最大的是()答案:D解析:若a1,则f(x)=logax在2,+上是增函数,且当x2时,f(x)0.由|f(x)|1得f(x)1,即log
4、ax1.当x2,+)时,logax1恒成立,loga21,loga2logaa,1a2.若0a1,则f(x)=logax在2,+)上是减函数,且当x2时,f(x)1得-f(x)1,f(x)-1,即logax-1.当x2,+)时,logax-1恒成立,答案:C评析:在对数函数中如果底数含有字母,通常把底数与1比较大小,进行分类讨论.答案:C类型一对数的运算解题准备:对数化简求值问题的常见思路:一是将对数的和差积商幂转化为对数真数的积商幂;二是将式子化为最简单的对数的和差积商幂,合并同类项后再进行运算,解题过程中,要抓住式子的特点,灵活使用运算法则.分析关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性
5、质对数恒等式换底公式等进行变形和求解.类型二对数函数的图象解题准备:对数函数的图象:经过点(1,0),且图象都在第一四象限;都以y轴为渐近线(当0a1时,图象向下无限接近y轴);对于相同的a,函数f(x)=logax与g(x)=的图象关于x轴对称.分析在同一坐标系下画出y=2x与y=logax的图象,数形结合求解.类型三对数函数的性质解题准备:利用对数函数的性质可以比较对数的大小,解对数不等式,也可以求与对数函数有关的函数的定义域和值域,还可以判断对数函数与其他函数复合以后的函数的单调性.【典例3】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;(2
6、)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.分析由f(1)=1求出a的值,然后根据复合函数的单调性求单调区间;根据对数函数的性质和二次函数的最值求a的值.解(1)f(1)=1,log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,这时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+30得-1x0.函数的定义域是x0,值域是y0,而在变形中函数y=2log2x-1的定义域是x0,值域是y0,因而原函数的图象显然是错误的.错源二忽视真数大于0剖析错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件,x0,y0,x-2y0,所以x2y0,所以x=y不成立.正解因
7、为lgx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y,因为x0,y0,x-2y0,所以x=y应舍去,所以x=4y,技法一快速解题(特例法)另解切入点y=f(x)的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称,故f(x)=logax,可以写出g(x),注意0a1两种情况的讨论.解析解法一:由题意知,f(x)=logax,故g(x)=logax(logax+loga2-1).令t=logax,则h(t)=t2+(loga2-1)t.答案D方法与技巧解法一是由复合函数的增减性讨论的,解法二利用导数讨论,但都要考虑0a1两种情况.而快解是赋值,这种方法快,但有时不一定能很快找到要取的特殊值.技法二等价转化思想【典例2】方程的解是_.解题切入点要求原方程的解,需将原方程转化为熟悉的方程来解,将对数方程转化为代数方程,转化的解法一般是化为同底的对数或换元法等.答案x=100方法与技巧解本题时运用换元法把原对数方程转化为关于某个字母y的二次方程,同时也是把无理方程转化为有理方程,一石二鸟,由此可见换元法的妙处.
