1、 1二项式定理(ab)nCn0anCn1an 1bCn2an 2b2CnranrbrCnnbn.(nN)通项公式：Tr1Cnranrbr，(r0,1,2，n)2二项式系数(1)定义：叫做二项式系数Cn0，Cn1，Cn2，Cnk，Cnn(2)性质 Cn0Cn1Cn2Cnn.Cn0Cn2Cn1Cn3.对称性：CnkCnnk.二项式系数最值问题2n2n1 2(2009全国卷理)(xy)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于_ 解析C103(C107)2C103240.答案 240 答案(1)15(2)5 点评与警示利用二项展开式的通项公式求展开式中指定项的系数、常数项等具有某种特殊性
2、的项是二项式定理的基本问题其通常解法是确定通项公式中r的值或取值范围在应用通项公式Tr1Cnranrbr时应注意：(1)Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；(2)对于(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题 答案(1)D(2)6 已知(13x)n展开式中末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项 解由题意得：Cnn2Cnn1Cnn121，整理得n2n2400，解得n15，或n16(舍去)展开式通项公式Tr1C15r3rxr(2)(2006浙 江 卷)若 多 项 式 x2 x10 a0 a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则a9()A9B10 C9D10(3)设
3、(x2x1)na0a1(x1)a2(x1)2a2n(x1)2n，则a0_，a0a1a2a2n_，a0a2a4a2n _，a1 a3 a5 a2n 1_；(4)(1x)4(1x)5(1x)6(1x)37的展开式中x3的系数_.解析(1)令x1得2n32，所以n5.由二项式展开式得Tr1C5r(x2)5r(x3)rC5rx105r，令105r0得r2，所以常数项为T3C5210.(2)解 法 一：展 开 式 中 x10的 系 数 满 足 1a10C100a101 展开式中x9的系数满足0a9C90a10C101，a910.故选D.解法二：x2x10(x1)12(x1)110展开式中a9C101(1
4、)110.故应选D.(3)令x1，得a01；令x2，得a0a1a2a2n5n；(1)设(x22x3)10a0a1(x1)a2(x1)2a20(x1)20，则a2_，a1a3a5a19_，a0a2a4a20_.(2)(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中x2的系数_.(3)C211C212C213C2110_.解析(1)(x22x3)10(x1)2410展 开 式 中(x 1)2的 系 数 a2 C101(4)9，a21049 令x2，得a0a1a2a20310 令x0，得a0a1a2a3a19a20310 a1a3a5a190，a0a2a4a20310 答案(1)10490
5、310(2)20(3)2201(1)已知nN*，求证：12222325n1能被31整除；(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.分析(1)要先用等比数列的前n项和公式，然后应用二项式定理转化成含31的倍数的关系式；(2)把0.998变成10.002，然后应用二项式定理展开(2)解0.9986(10.002)6 1C61(0.002)C62(0.002)2C63(0.002)3 第三项T315(0.002)20.000 060.001，以后各项更小，0.998610.0120.988.点评与警示 用二项式定理证明整除问题时，首先要注意(ab)n中，a，b有一个是除数的倍数其次展开式有
6、什么规律，余项是什么，必须清楚近似计算时，可根据精确度要求，展到需要的项即可 求证：3n(n2)2n1(nN*，n2)证明利用二项式定理3n(21)n展开证明 因为nN*，且n2，所以3n(21)n展开后至少有4项，(21)n2nCn12n 1Cnn1212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1.故3n(n2)2n1.1运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项的系数、常数项、有理项、系数最大的项等的常用方法：(1)直接利用二项式定理的通项公式；(2)先分解因式，再利用通项公式；(3)对于某些指数不大的二项式，可以直接展开 2涉及展开式的系数和问题，一般常用赋值法，如令x0,1，1等解决 3注意二项展开式的二项式系数与项的系数的区别，前者指Cnr，而后者是字母外的部分 4最大系数及系数最大项的求法：如求(axby)n(a，bR)展开式系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为t0，t1，t2，tn，设第r1项系数最大，可由解出r来，其中r0,1,2,3，n1.(不含T1与Tn1)5杨辉三角反映了二项式系数的性质，在n不太大时可以直接应用
