1、第讲7二次函数二次函数（第二课时）（第二课时）第二章函数1题型四：二次方程实根的分布1.方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，求实数a的取值范围.2设f(x)=x2-2ax+4，由于方程x2-2ax+4=0的两根均大于1，因此，据二次函数图象应满足:0f(1)0，解得故实数a的取值范围是4a2-160a1a，即3点评：一元二次方程根的分布中的参数的取值范围问题，一般先构造对应的二次函数，借助二次函数的图象，对三要素(即判别式、二次函数的对称轴、根分布区间的端点值)的符号进行分析判断，得到相应的不等式组，通过解不等式组便可求得参数的取值(范围).4若关于x的方程2ax2-x-1=0在区间(0，
2、1)内恰有一解，则实数a的取值范围是()A.(0，1)B.(-1，1)C.(1，+)D.(-，-1)5设f(x)=2ax2-x-1，则f(0)=-1.因为方程f(x)=0在区间(0，1)内恰有一解，所以f(1)0，即2a-20，所以a1，故选C.答案：C6题型五：二次函数中的证明问题2.已知aR,f(x)=ax2+x-a,-1x1.(1)若f(x)的最大值为求实数a的值;(2)若|a|1,求证:7 (1)当a=0时，f(x)=x,则f(x)max=xmax=1当a0时，二次函数f(x)在闭区间-1,1上的最大值只能在端点或顶点处取得.8因为f(-1)=-1,f(1)=1，所以f(x)的最大值为
3、只能在顶点取得,故 a0 -1-12a1解得a=-2.9(2)证明：|f(x)|=|a(x2-1)+x|a|x2-1|+|x|x2-1|+|x|=-|x|2+|x|+110点评：解决与二次函数有关的代数证明，可以从两个方面入手：一是三个二次的关系式的相互联系及相互转化，利用函数思想解决有关不等关系或相等关系；二是利用二次函数的图象特征，结合数形结合思想实现数与形的转化.11设函数f(x)=x2+2bx+c(cb1)，f(1)=0，且方程f(x)+1=0有实根.(1)证明：-3c-1且b0；(2)若m是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m-4)的正负并加以证明.12 (1)证明：f(1)=0 1+2b+c=0又cb1，故得因为方程f(x)+1=0有实根，即x2+2bx+c+1=0有实根，13故=4b2-4(c+1)0，即(c+1)2-4(c+1)0，解得c3或c-1.所以-3c-1.由知b0.14(2)因为f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1)，f(m)=-10.所以cm1，所以c-4m-4-3c.所以f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)0.所以f(m-4)的符号为正.15二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，灵活性强，解题时要注意三者的互相转化，重视用函数思想处理方程、不等式问题.16
