1、第六节 空间向量及其运算1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1把空间中具有和的量叫2(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是大小方向向量存在实数，使ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使3空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组 x，y，z，使.pxayb.pxaybzc4两个向量的
2、数量积非零向量a、b的数量积ab向量的数量积的性质：ae；ab；|a|2.|a|b|cosa，b|a|cosa，e，e为单位向量ab0aa向量的数量积满足如下运算律：(a)b；ab(交换律)；a(bc)(分配律)5空间向量的直角坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则(ab)baabacab；ab；ab，特殊地aa；ab(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b3a12a22a32 ab；A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)6向量a与b的夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则cosa，ba1b1a2b2a
3、3b30(a0，b0)(x2，y2，z2)(x1，y1，z1)(x2x1，y2y1，z2z1)答案：C答案：A 3若空间三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q2)共线，则()Ap3，q2 Bp2，q3Cp3，q2 Dp2，q3答案：A答案：C5已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)且kab与2ab互相垂直，则k_.解析：kab(k，k,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab(2,2,0)(1,0,2)(3,2，2)由(kab)(2ab)0得3(k1)2k40.用已知向量表示未知向量，一定要结合图形可从以下角度入手：1要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来2把要表
4、示的向量标有封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系3用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘热点之一 空间向量的线性运算思路探究根据空间向量的加、减及数乘运算的法则和运算律即可解题过程中要注意观察所涉及的向量在图形中的位置特点，选取适当的三角形(或平行四边形)，从而找出恰当的解题途径课堂记录(1)P是C1D1的中点，思维拓展注意向量加减法中的方向，还有向量首尾即时训练热点之二共线定理、共面定理的应用应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面1证明空
5、间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线例2已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点用向量法证明：E，F，G，H四点共面思路探究空间向量的概念空间向量的线性运算共面向量定理课堂记录如右图所示，连接BG，EG，则即时训练P与A、B、C三点不共面热点之三 空间向量数量积的应用用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题(2)在向量性质中|a|2aa提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题例3(20
6、10珠海模拟)已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长AB2，AB1BC1，点O、O1分别是边AC、A1C1的中点，建立如右图所示的空间直角坐标系(1)求正三棱柱的侧棱长；即时训练如右图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点(1)用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；(2)用向量法证明MN平面A1BD.同理可证，MNA1B，又A1BBDB，MN平面A1BD.向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三点共线、四点共面，以及求角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题所以四边形AGEF为平行四边形，所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如下图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.所以CFBE，CFDE，又BEDEE，所以CF平面BDE.
