1、等比数列的前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等比数列an满足a3=4,a6=32,则其前6项的和为()A.31B.63C.127D.128【解析】选B.由题意,等比数列an满足a3=4,a6=32,则q3=8,所以q=2,所以a1=1,所以S6=63.2.在等比数列an中,公比q=-2,S5=44,则a1=()A.4B.-4C.2D.-2【解析】选A.由S5=44,所以a1=4.3.(2019深圳高一检测)在等比数列中,若a1-a5=-,前四项的和S4=-5,则a4=()A.1B.-1C.D.-【解析】选A.根据题意,设等比数列的公比为q,若a1-a5=-,即
2、a1=-,若其前四项的和S4=-5,则有S4=-5,解可得q=-,又由a1=-,则a1=-8,则a4=a1q3=(-8)=1.4.已知数列an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=4,S3=,则S5=()A.B.C.D.【解析】选C.由等比数列性质可得:a2a4=4,又an是由正数组成的等比数列,所以a3=a1q2=2且q0,S3=a1(1+q+q2)=.所以a1=,q=2, 所以S5=.5.(2019铜仁高一检测)已知an是正项等比数列,a1+a2=3,a3+a4=12,则该数列的前5项和等于()A.15B.31C.63D.127【解析】选B.设正项等比数列an的公比为q(
3、q0),因为a1+a2=3,a3+a4=12,即,解得a1=1,q=2,所以数列an的前5项和为S5=31.6.设正项等比数列an的前n项和为Sn,且1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4等于()A.63或120B.256C.120D.63【解析】选C.由已知解得或又因为0,且a2a4=1,即a3=1.因为S3=7,所以a1+a2+a3=+1=7,即6q2-q-1=0.故q=或q=-(舍去),所以a1=4.所以S5=8=.答案:8.等比数列an的前5项和S5=10,前10项和S10=50,则它的前15项和S15=_.【解析】由S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,得(S10-S
4、5)2=S5(S15-S10),即402=10(S15-50),得S15=210.答案:210三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),若bn=an+1-2an,求证:bn是等比数列.【证明】因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an, 所以=2,因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5,b1=a2-2a1=3,所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.10.已知数列an的首项a1=,an+1=,nN*.(1)求证:数列为等比数列.(2)记Sn=+,若Sn100,求最大正整数n.
5、【解析】(1)因为=+,所以-1=-=.又因为-10,所以-10(nN*).所以数列为等比数列. (2)由(1)得-1=,所以=2+1,Sn=+=n+2=n+2=n+1-,若Sn100,则n+1-0,q1,且a3+a5=20,a2a6=64,则S6=()A.63B.48C.42D.36【解析】选A.由题意可知,有化简得2q2-5q+2=0,解得或(舍)因此a1=1,S6=26-1=63.【一题多解】选A.由a2a6=a3a5=64,且a3+a5=20,所以a3,a5是一元二次方程x2-20x+64=0的两根.因为q1,所以a5a3,得a3=4,a5=16,q2=4,q=2,a1=1.所以S6=
6、63.二、填空题(每小题5分,共20分)6.等比数列an的前n项和为Sn,a1=-,若=,则a2a4=_.【解析】设等比数列的公比为q,若q=1,则=2,不合题意;故q1.又=1+q3=,所以q=-,所以a2a4=q4=.答案:7.在数列中,a1=2,an+1=2an,Sn为的前n项和,若Sn=126,则n=_.【解析】因为=2,所以数列an是首项a1=2,公比q=2的等比数列, Sn=126,即2n+1=128,解得n=6.答案:68.已知数列an是等比数列,Sn是其前n项的和,若a2a7=128,a4=8,则Sn=_.【解析】由a2a7=128,a4=8,则数列各项均为正.得:即解得: 则
7、Sn=2n-1.答案: 2n-19.(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=,=a6,则S5=_.【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,a42=a6,所以=q5,又q0,所以q=3,所以S5=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知数列an满足an+1=3an+2(nN*),且a1=2.(1)求证:数列an+1是等比数列.(2)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)因为=3,a1+1=3,所以an+1是首项为3,公比为3的等比数列.(2)由(1)可得an+1=3n,所以an=3n-1.Sn=-n=-n.【补偿训练】 在数列an中,Sn=1+kan(k0,
8、且k1).(1)证明:数列an为等比数列.(2)求通项an.(3)当k=-1时,求+.【解析】(1)因为Sn=1+kan,Sn-1=1+kan-1,-得Sn-Sn-1=kan-kan-1(n2).所以(k-1)an=kan-1,=为常数,n2.所以an是公比为的等比数列.(2)因为S1=a1=1+ka1,所以a1=.所以an=-.(3)因为an中a1=,q=,所以是首项为,公比为的等比数列.当k=-1时,等比数列的首项为,公比为,所以+=.11.(2019南昌高一检测)已知等差数列an满足a7=4,a11=6.(1)求an的通项公式an.(2)设等比数列bn满足b1=a3,b4=a31,求bn
9、的前n项和Tn.【解析】(1)由题意,设等差数列的公差为d,可得,解得,故an的通项公式an=1+=.(2)由(1)得b1=a3=2,b4=a31=16.设bn的公比为q,则q3=8,所以q=2,所以数列bn的前n项和为Tn=2n+1-2.12.在数列an中,a1=1,当n1时,2an+anan-1-an-1=0,数列an的前n项和为Sn.求证:(1)数列+1 是等比数列.(2)Sn1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an0,所以an(2+an-1)=an-1,an=,=+1=+1=,所以=2,又因为+1=2,所以是首项为2,公比为2的等比数列.方法二(构造新数列):因为a1=1,当
10、n1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an0,两边同时除以anan-1得+1-=0,整理得-2=1,所以+1=2,即=2(常数),又因为+1=2,所以+1是首项为2,公比为2的等比数列.方法三(换元法):因为a1=1,当n1时,2an+anan-1-an-1=0,易知an0,两边同时除以anan-1得+1-=0,令bn=,则2bn-1+1-bn=0,所以bn+1=2(bn-1+1),即=2,又因为b1+1=+1=2,所以bn+1是首项为2,公比为2的等比数列,即+1是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)及已知得,+1=2n,所以an=(n=1符合),Sn=1+1+=1+=2-2.