1、高考资源网（） 您身边的高考专家数学试卷第I卷（选择题，共60分)一、单选题（每小题5分，且每题只有一个正确选项）1.设为等差数列的前项和，若，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由等差数列求和的性质，结合等差数列通项公式，求得首项与公差；再将化简即可求解【详解】根据等差数列的求和公式 化简得，根据等差数列通项公式得解方程组得 所以选C【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的简单应用，利用等差数列的性质可简化运算过程，属于基础题2.在 中，分别为角所对的边，面积，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据同角三角函数关系式求出,然后由面积公式求出,
2、最后根据余弦定理即可求出的值.【详解】解:在中，面积，解得，由余弦定理可得，即.故选：B【点睛】本题考查由三角形的面积公式和余弦定理求解三角形,是基础题.3.在中，已知的平分线,则的面积（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据和可求得，利用同角三角函数和二倍角公式可求得，代入三角形面积公式求得结果.【详解】为角平分线 ，即 则本题正确选项：【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.4.已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据所给的不
3、等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，然后再解不等式即可【详解】不等式的解集是，是方程的两根，解得不等式为，解得，不等式的解集为故选A【点睛】本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出的值5.若正实数满足，则（ ）A. 有最大值4B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值【答案】C【解析】试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确考点：基本不等式6
4、.已知数列，则该数列第项是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由观察可得项数为，注意到，第项是第个括号里的第项.【详解】由数列，可发现其项数为，则前个括号里共有项，前个括号里共有项，故原数列第项是第个括号里的第项，第个括号里的数列通项为，所以第个括号里的第项是.故选：C.【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.7.若点和都在直线上，又点和点，则（ ）A. 点和都不在直线上B. 点和都在直线上C. 点在直线上且不在直线上D. 点不在直线上且在直线上【答案】B【解析】由题意得：，易得点满足由方程组得，两式相加得，即点 在直线上
5、，故选B.8.点到直线：的距离最大时，与的值依次为()A. 3，3B. 5，2C. 5，1D. 7，1【答案】C【解析】【分析】将直线方程整理为，可得直线经过定点，由此可得当直线与垂直时的长，并且此时点到直线的距离达到最大值，从而可得结果.【详解】直线，即，直线是过直线和交点的直线系方程，由，得，可得直线经过定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大，的最大值为，此时轴，可得直线斜率不存在，即.故选：C.【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种： 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借
6、助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.9.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381，解得a1=3故选B10.在各项均为正数的等比数列中，公比，若，数列的前项和为，则当取最小值时，的值为（ ）A. 4B. 6C. 4
7、或5D. 5或6【答案】C【解析】【分析】由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入，得到数列为等差数列，求出的表达式，利用二次函数的性质判断最小值，进而求出的值即可【详解】是等比数列且，公比，可得：，解得或（舍去），则，则数列的前项和，所以或5时，取最小值故选：C【点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，考查了等差关系的确定、等差数列的求和公式以及等差数和的最值等知识，是中档题二、多选题（每小题5分，且每题有两个或两个以上正确选项，漏选得2分，错选或不选不得分）11.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）A. B. 数列是等比数列C. D. 数列
8、是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】【分析】由，公比为整数，解得，可得，进而判断出结论.【详解】，且公比为整数，或（舍去）故A正确，故C正确；，故数列是等比数列，故B正确；而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误故选：ABC.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式以及综合运用，属于中档题12.在三角形中，下列命题正确的有（ ）A. 若，则三角形有两解B. 若，则一定是钝角三角形C. 若，则一定是等边三角形D. 若，则的形状是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理可得A错误，由可推出，然后可得B正确，由得，然后可推出C正确，由可得，然后可推出D正确.【
9、详解】因为，所以由正弦定理得，所以角只有一个解，故A错误由，即 所以，即所以，所以，故一定钝角三角形故B正确因为所以所以，故C正确因为所以所以因为所以，所以或所以或，所以的形状是等腰或直角三角形故选：BCD【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题.第II卷（非选择题，共90分)三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线与互相平行，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】根据两直线平行时对应系数成比例，列方程求出的值.【详解】直线与互相平行，由，得或，由得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了已知两条直线的位置关系求参数的值，属于基础题.14.在数列中
10、，已知，则=_【答案】【解析】【分析】利用累加法求得，再利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】因为，故可得，累加可得，又因为，则，故可得，则.故答案为：.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前项和，属中档题.15.设的内角所对的边分别为，且满足，的周长为，则面积的最大值为_.【答案】【解析】分析】利用余弦定理，求得；再利用均值不等式即可求得的最大值，则问题得解.【详解】因为，故可得即，整理得，故可得.又三角形为直角三角形，故可得即解得，当且仅当时取得最大值.则其面积.故三角形面积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理的综合应用，以及利用均值不等式求最
11、值，属综合中档题.16.已知两个正数满足,则使不等式恒成立的实数的范围是_【答案】【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围【详解】由题意知两个正数x，y满足，则，当时取等号；的最小值是，不等式恒成立，故答案为【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分）17.已知直线经过点（2，5），且斜率为 （1）求直线的方程；（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.【答案】(1) 3
12、x4y140；(2) 3x4y10或3x4y290.【解析】分析】（1）代入点斜式方程求直线 方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求.【详解】（1）由点斜式方程得，.（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，解得：或.或【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.18.在中，分别为内角所对的边，已知，其中为外接圆的半径，其中为的面积（1）求；（2）若，求的周长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦可得，进而可得，从而得，结合余弦定理可得，再由即可得解；（2）由正弦定理得，从而可得，结合由正弦定理可得，从而得解.【详解】（1）由正弦定理
13、得，又，则.由，由余弦定理可得，又，.（2）由正弦定理得，又，又 .【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）按等比数列的概念直接求解即可；（2）先求出的表达式，再利用裂项相消法即可求得数列的前项和.【详解】（1）由等比数列通项公式得：（2）由（1）可得：
14、【点睛】本题主要考查数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题.20.已知不等式的解集为或.（1）求；（2）解关于的不等式【答案】（1）a1，b2；（2）当c2时，解集为x|2xc；当c2时，解集为x|cx2；当c2时，解集为【解析】【分析】（1）根据不等式ax23x+64的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；（2）把不等式ax2（ac+b）x+bc0化为x2（2+c）x+2c0，讨论c的取值，求出对应不等式的解集【详解】（1）因为不等式ax23x+64的解集为x|x1，或xb，所以1和b是方程ax23x+20的两个实数根，且b1；由根与系数的关系，得，解得a1，b2；（2
15、）所求不等式ax2（ac+b）x+bc0化为x2（2+c）x+2c0，即（x2）（xc）0；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|2xc；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|cx2；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为【点睛】本题考查了不等式解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题21.已知数列满足.（1）证明数列为等差数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）当时，由；得到，两式相减得，再根据等差数列的定义证明.（2）由题可知，利用错位相减法求解.【详解】（1）当时，；当时，由；得，-得，当时符
16、合，即，则，所以数列为等差数列.（2）由题可知.所以，-得，所以.【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和间的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙的长度为米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记.（1）若，求的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，的面积尽可能大，当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.【答案】(1) 米. (2) 当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，.【解析】分析：(1)在中，由正弦定理可得，即可求的周长；(2)利用余弦定理列出关系式，将的值代入并利用基本不等式求出的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时的值.详解：（1）在中，有正弦定理可得，,的周长为米.（2）在中，有余弦定理得当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，.点睛：该题考查的是有关通过解三角形来解决实际问题的事例，在解题的过程中，注意应用正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得结果.- 18 - 版权所有高考资源网
