1、突破1球的切、接问题命题点1外接球问题例1 （1）天津高考若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（C）A.12B.24C.36D.144解析设外接球的半径为R，易知2R3236，所以R3，于是外接球的表面积S4R236，故选C.（2）全国卷已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为（D）A.86B.46C.26D.6解析（补形法）因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EFPB，因为CEF90，所以EFCE，所以PBCE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC平面BDP，所
2、以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC，因为PAPBPC，ABC为正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC两两垂直.将三棱锥PABC放在正方体中，如图所示.因为AB2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥PABC的外接球的半径R62，所以球O的体积V43R343（62）36.（3）2023全国卷乙已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平面ABC，则SA2.解析解法一如图，设ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径rO1A2332
3、33.将三棱锥SABC补形为正三棱柱SB1C1ABC，由题意知SA为侧棱，设外接球的球心为O，连接OO1，OA，则OO1平面ABC，且OO112SA.又球O的半径ROA2，OA2OO12O1A2，所以414SA23，得SA2.解法二如图，设ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径rO1A233233.设三棱锥SABC的外接球球心为O，连接OO1，则OO1平面ABC.又SA平面ABC，所以OO1SA，连接OS，OA，由题意知OSOA2.过O作SA的垂线，设垂足为H，则四边形AO1OH为矩形，所以OO1AH，由OSOA可知H为SA的中点，则OO1AH
4、12SA.所以在RtOO1A中，由勾股定理可得OA2OO12O1A2，即414SA23，得SA2.方法技巧1.解决外接球问题的关键是利用球心到多面体的顶点的距离均等于球的半经.2.柱体的外接球球心为上、下底面外心（外接圆圆心）连线的中点.3.棱锥中几种常见的外接球模型模型墙角型：ADAB，ACAD，ACAB对棱相等型：ADBCa，ABCDb，ACBDc图示分析可补形为长方体或正方体可补形为长方体或正方体，每条棱均为其面对角线球心球心位于体对角线中点球心位于体对角线中点半径R12AB2AC2AD2Ra2b2c28模型侧棱与底面垂直型：PA平面ABC侧面与底面垂直型：平面PAD平面ABCD图示分析
5、过底面外心O1作垂直于底面的直线l，则有lPA作PEAD于E，过底面外心O1作垂直于底面的直线l，则有lPE球心球心O在直线l上，且有OO112PA，利用RtAOO1列方程球心O在直线l上，过点O作OHPE于点H，利用RtPOH和RtAOO1列方程组半径Rr2（12PA）2，r为底面多边形外接圆半径R2OH2PH2，R2OO12AO12训练1 （1）2023湖南省郴州市适应性模拟已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（C）A.533B.53C.733D.73解析如图，设圆台的上底面的圆心为O1，下底面的圆心为O，点A为上底面圆周上任意
6、一点，连接O1A，OA，OO1，则O1A1，设圆台的高为h，球O的半径为ROA2，则hOO1R2O1A222123，所以圆台的体积V13（44）3733.故选C.（2）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，其中AD1，AB2，平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，则四棱锥PABCD的外接球体积为（D）A.163B.763C.3233D.32327解析设AD的中点为F，连接PF，AC，BD，设ACBDE，连接EF，设PAD外接圆的圆心为O1，半径为r，所求外接球球心为O，半径为R，连接OO1，OE，OP，如图.因为PAD为等边三角形，AD1，所以圆O1的半径rPO13212333.因为PAD为等边三角形，F是AD的中点，所以PFAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PF平面PAD，所以PF平面ABCD.因为底面ABCD是矩形，所以E是底面ABCD外接圆的圆心，故OE平面ABCD，所以PFOE.同理OO1EF，又易得PFEF，所以四边形OO1FE是矩形，所以OO1EF12AB1，所以球O的半径R（33）212233，所以外接球的体积为V43R332327.故选D.
