1、2019备战中考数学（人教版五四学制）巩固复习-第三十四章-锐角三角函数（含解析）一、单选题1.把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ） A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍 D.不能确定2.如果把RtABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的余弦值（） A.扩大到原来的2倍B.缩小到原来的C.不变D.都不能确定3.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m；线与地面所成的角度分别为30，45，60(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（） A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高4.如图，一个斜坡长13
2、0m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡的坡度为（ ）A.B.C.D.5.在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（ ） A.都扩大到原来的3倍B.都缩小为原来的3倍C.都保持原来的数值都不变D.有的变大，有的缩小6.在RtABC中，各边都扩大5倍，则A的三角函数值（ ） A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定7.在RtABC中，C=90，BC=4，sinA= ，则AB的长为（ ） A.B.6C.12D.88.如图，在正方形网格中，1、2、3的大小关系（）A.1=2=3B.123C.1=23D.12=39.在RtABC中，C=Rt，若A=30，则cosA
3、+sinB等于（） A.B.1C.D.10.如果A为锐角,cos A= ,那么( ) A.0A30B.30A45C.45A60D.60A90二、填空题11.如图，已知斜坡 AB 的坡度为 1：3若坡长 AB=10m，则坡高 BC=_m12.已知在ABC中，C=90，sinA= ，BC=6，则AB的长是_ 13.已知sin=0.2，cos=0.8，则+=_（精确到1） 14.两棵树种在倾角为2436的斜坡上，它们的坡面距离是4米，则它们之间的水平距离是_米（可用计算器计算，精确到0.1米） 15.如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受西风的影响，以每分钟30米的速度沿与地面成60角的方向飞
4、行，20分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30，则A、B两点间的距离为_米16.如图,的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(b,4),若sin= ,则b= .17.计算：cos245=_ 18.如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60、45，如果无人机距地面高度CD为 米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_米（结果保留根号）19.如图，在RtABC中，ACB=90，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=， 则DE=_MISSING IMAGE: , 三、计算题20.计算： 21.求值：
5、2cos60+2sin30+4tan45 四、综合题22.【问题提出】如图，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n=2，则时间t= + ，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得AD+ 的值最小如图，过点C做射线CM，使得BCM=30（1）过点D作DECM，垂足为E，试说明：DE= ； （2）【问题解决】请在图中画出所用时间最短的登陆点D，并说明理由 （3）【模型运用】请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图中的问题（写出具体方案，如相关图形呈
6、现、图形中角所满足的条件、作图的方法等） （4）如图，海面上一标志A到海岸BC的距离AB=300m，BC=300m救生员在C点处发现标志A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到达A处的最短时间 23.为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用图是一种型号的手动轮椅实物图，图为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120cm，后轮半径为24cm，CB=CD=24cm，踏板CB与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15、30求：（1）求横档AD的长； （2）点C离地面的高度（sin
7、15=0.26，cos15=0.97，精确到1cm） 答案解析部分一、单选题1.【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】由于ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变【解答】因为ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变故选A2.【答案】C 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：把RtABC的三边长度都扩大2倍后所得的三角形与原三角形相似，锐角A的大小没改变，锐角A的余弦值也不变故选：C【分析】首先判断出把RtA
8、BC的三边长度都扩大2倍后所得的三角形与原三角形相似，锐角A的大小没改变，然后根据锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的余弦，可得锐角A的余弦值也不变，据此解答即可3.【答案】D 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可。【解答】甲放的高度为：300sin30=150米；乙放的高度为：250sin45=125176.75米；丙放的高度为：200sin60=100173.2米；所以乙的最高。故选D【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的运用及多方案的选择能力。4.【答案】A 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【解答】一个斜坡长130
9、m，坡顶离水平地面的距离为50m，这个斜坡的水平距离为： =120m，这个斜坡的坡度为：50：120=5：12故答案为：A【分析】坡度为竖直高度与水平宽度之比，所以先通过勾股定理得到水平宽，然后求比值即可。5.【答案】C 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变 故选：C【分析】根据锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值解答即可6.【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变【解答】各边都扩大5
10、倍，新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，两三角形相似，A的三角函数值不变，故选A【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关7.【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：sinA= = ， AB=6故选B【分析】根据三角函数定义就可以解决8.【答案】D 【考点】锐角三角函数的增减性 【解析】【解答】解：如图所示：根据图形可知：CBD=BDE，tanABC=， tanEDF=， ABCEDFABC+CBDEDF+BDE，即12根据图形可知：EDF=DFG，tanBDE=， tanGFH=， BDE
11、=GFHEDF+BDE=DFG+GFH，即：2=3故选：D【分析】由平行线的性质可知：CBD=BDE，EDF=DFG，然后根据锐角三角形函数的定义可知：tanABC=， tanEDF=， tanBDE=tanGFH=， 从而可判定出ABCEDF，BDE=GFH然后即可比较它们的大小9.【答案】C 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：B=90A=9030=60，则cosA+sinB=+= 故选C【分析】先求出B的度数，然后根据特殊角的三角函数值求解10.【答案】D 【考点】锐角三角函数的增减性 【解析】【解答】解：当角度是锐角时，余弦函数是随着角度的增加而减小的，而cos A=则0c
12、osA,即60A90故答案为：。【分析】考查余弦函数的增减性：当090，则cos随着的增大而减小。二、填空题11.【答案】【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【解答】设 m，斜坡 AB 的坡度为 由勾股定理得， 解得， 故答案为： 【分析】设BC=xm，根据坡度的概念及斜坡 AB 的坡度为 1 : 3 ，得出AC=3x ，根据勾股定理得出关于x的方程，求解得出x的值。12.【答案】8 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：在ABC中，C=90，sinA= ，BC=6， sinA= ，即 = ，解得：AB=8，故答案为：8【分析】利用锐角三角函数定义求出所求即可13.【答案】48
13、24 【考点】计算器三角函数 【解析】【解答】解：4824【分析】根据已知一个角的三角函数值求这个角的算法：先按MODE，选择模式再键入数字，最后按2ndF和sin或cos，得到这三个角的度数14.【答案】3.6 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：由题意得cos2436= =0.909，解得：水平距离3.6米故答案为：3.6【分析】倾角为2436，即坡角为2436，利用余弦关系可求出它们之间的水平距离15.【答案】600 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】【解答】解：如图，过点A作ADBC，垂足为D，在RtACD中，ACD=6030=30，AC=3020=600（
14、米），AD=ACsin30=300（米）在RtABD中，B=30，AB=2AD=600（米）故答案为：600【分析】作ADBC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在RtACD中，求得ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据B=30求出AB的长16.【答案】3 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：因为sin =所以OP=5,由勾股定理得b=,故答案为：3.【分析】根据正弦函数的定义可得OP的长，由勾股定理即可求出b的值。17.【答案】【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：原式=（）2= 【分析】运用特殊角三角函数值计算18.【答案】100（1+ ） 【考点】解直角三角形的应
15、用仰角俯角问题 【解析】【解答】解：如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60、45，A=60，B=45，在RtACD中，tanA= ，AD= =100，在RtBCD中，BD=CD=100 ，AB=AD+BD=100+100 =100（1+ ）答：A、B两点间的距离为100（1+ ）米故答案为100（1+ ）【分析】根据题意得出A=60，B=45，在RtACD中，根据正切函数的定义由tanA=CDAD 得出AD的长，在RtBCD中根据等腰三角形的性质得出BD=CD=100，根据线段的和差即可得出AB的长。19.【答案】【考点】锐角三角函数的定义，解直角三角形 【解析】【解答】BC
16、=6，sinA=， AB=10，AC=， D是AB的中点，AD=AB=5，ADEACB， ， 即， 解得：DE= 【分析】在RtABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由ADEACB，利用对应边成比例可求出DE三、计算题20.【答案】解：原式= 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【分析】先求出特殊角的三角函数,再按照实数的混合运算,进行计算.21.【答案】解：原式= =6 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案四、综合题22.【答案】（1）解：如图，DECM，DEC=90，在RtBCM中，DE=CDsin30，DE= （2）解：如图过点A作AECM交CB
17、于点D，则D点即为所用时间最短的登陆点理由如下：由第（1）问可知，DE= AD+ 最短，即为AD+DE最短由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短可知此时D点即为所求（3）解：如图，过点C做射线CM，使得sinBCM= ，过点A作AECM，垂足为E，交CB于点D，则D即为所用时间最短的登陆点（4）解：救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，此时sinBCM= ，可得sinDAB= ，在RtADB中，AB=300，AD=225 ，DB=75 ，CD=30075 时间为 + =（50+100 ）s 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】（1）在RtBCM中
18、利用三角函数可求得；（2）根据垂线段最短，可作出所用时间最短的登陆点D；（3）由“特例分析”可知n=2，则作BCM=30，再仿照（2）的作法可得；（4）由救生员在岸上跑的速度和在海中游泳的速度可求出sinBCM的值和sinDAB的值，在RtADB中求出AD、BD，从而得到CD，从而可求得时间.23.【答案】（1）解：如图所示：在RtDFC中，FC=DCsin30=24 =12，DF=DCcos30=24 = ，所以CG=DF= ，所以AE=1201224 63.2（cm），在RtADE中，AD= = 65（cm），因此，横档AD的长为65cm（2）解：在RtADE中，DE=ADsin15=650.26=16.9，所以点C离地面的高度为DE+24DF=16.9+24 20（cm），因此，点C离地面的高度为20cm 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】（1）在RtDFC中，根据正弦函数得出FC的长，由余弦函数得出DF的长，根据等量代换得出CG=DF，根据线段的和差得出AE的长，在RtADE中，根据余弦函数得出AD的长；（2）在RtADE中，根据正弦函数得出DE的长，根据线段的和差得出点C离地面的高度。
