1、第四章 圆与方程 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 求圆的方程【例 1】求圆心在圆x322y22 上,且与 x 轴和直线 x12都相切的圆的方程解 设圆心坐标为(a,b),半径为 r,因为圆x322y22 在直线 x12的右侧,且所求的圆与 x 轴和直线 x12都相切,所以 a12.所以 ra12,r|b|.又圆心(a,b)在圆x322y22 上,所以a322b22,联立ra12,r|b|,a322b22.解得a12,r1,b1.所以所求圆的方程是x122(y1)21,或x122(y1)21.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式(2
2、)由题意得 a,b,r(或 D,E,F)的方程(组).(3)解出 a,b,r(或 D,E,F).(4)代入圆的方程跟进训练1已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数且与直线 4x3y290 相切,求圆的方程解 设圆心为 M(m,0)(mZ),由于圆与直线 4x3y290 相切,且半径为 5,所以|4m29|55,即|4m29|25,因为 m 为整数,故 m1,故所求圆的方程为(x1)2y225.直线与圆的位置关系【例 2】已知直线 l:2mxy8m30 和圆 C:x2y26x12y200.(1)mR 时,证明 l 与 C 总相交;(2)m 取何值时,l 被 C 截得的弦长最短
3、,求此弦长解(1)证明:直线的方程可化为 y32m(x4),由点斜式可知,直线过点 P(4,3).由于 42(3)26412(3)20150,所以点 P 在圆内,故直线 l 与圆 C 总相交(2)如图,当圆心 C(3,6)到直线 l 的距离最大时,线段 AB 的长度最短此时 PCl,所以直线 l 的斜率为13,所以 m16.在 RtAPC 中,|PC|10,|AC|r5,所以|AP|2|AC|2|PC|2251015,所以|AP|15,所以|AB|2 15,即最短弦长为 2 15.直线与圆位置关系的判断:求出圆心到直线的距离 d 与 r 比较或由直线与圆联立方程组消去一个变量,得到一元二次方程
4、,判断判别式的符号dr相离0dr相切0dr相交0 跟进训练2已知圆 C 关于直线 xy20 对称,且过点 P(2,2)和原点O.(1)求圆 C 的方程;(2)相互垂直的两条直线 l1,l2 都过点 A(1,0),若 l1,l2 被圆 C所截得弦长相等,求此时直线 l1 的方程解(1)由题意知,直线 xy20 过圆 C 的圆心,设圆心 C(a,a2).由题意,得(a2)2(a22)2a2(a2)2,解得 a2.因为圆心 C(2,0),半径 r2,所以圆 C 的方程为(x2)2y24.(2)由题意知,直线 l1,l2 的斜率存在且不为 0,设 l1 的斜率为 k,则 l2 的斜率为1k,所以 l1
5、:yk(x1),即 kxyk0,l2:y1k(x1),即 xky10.由题意,得圆心 C 到直线 l1,l2 的距离相等,所以|2kk|k21|21|k21,解得 k1,所以直线 l1 的方程为 xy10 或 xy10.圆与圆的位置关系【例 3】已知圆 C1:x2y24x4y50 与圆 C2:x2y28x4y70.(1)证明圆 C1 与圆 C2 相切,并求过切点的两圆公切线的方程;(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程解(1)证明:把圆 C1 与圆 C2 都化为标准方程形式,得(x2)2(y2)213,(x4)2(y2)213.圆心与半径长分别为 C1(2,2),r1 13
6、;C2(4,2),r2 13.因为|C1C2|(24)2(22)22 13r1r2,所以圆 C1 与圆 C2 相切由x2y24x4y50,x2y28x4y70,得 12x8y120,即 3x2y30,就是过切点的两圆公切线的方程(2)由圆系方程,可设所求圆的方程为x2y24x4y5(3x2y3)0.点(2,3)在此圆上,将点坐标代入方程解得 43.所以所求圆的方程为 x2y24x4y543(3x2y3)0,即x2y28x203 y90.判断两圆位置关系的两种比较方法:(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较,得到两圆位置关系,(其中 Rr)dRr外离,dRr外切,RrdRr相交,dRr内
7、切,0dRr内含(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题,转化为方程组解的组数问题,从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系,但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系,而不能像几何法一样,能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系xy30 AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2 的连心线 C1C2.又C1(3,0),C2(0,3),所以 C1C2 所在直线的方程为 xy30.跟进训练3已知圆 C1:x2y26x70 与圆 C2:x2y26y270 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中垂线方程为_空间中点的坐标及距离公式的应用【例 4】如图,已知正方体 ABC
8、D-ABCD的棱长为 a,M 为BD的中点,点 N 在 AC上,且|AN|3|NC|,试求|MN|的长解 由题意应先建立坐标系,以 D 为原点,建立如图所示空间直角坐标系因为正方体棱长为 a,所以 B(a,a,0),A(a,0,a),C(0,a,a),D(0,0,a).由于 M 为 BD的中点,取 AC的中点 O,所以Ma2,a2,a2,Oa2,a2,a.因为|AN|3|NC|,所以 N 为 AC的四等分点,从而 N 为 OC的中点,故 Na4,3a4,a.根据空间两点间的距离公式,可得|MN|a2a42a23a42a2a2 64 a.求空间中坐标及两点间距离方法及注意点:(1)求空间两点间的
9、距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般来说,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定跟进训练4如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,|C1C|CB|CA|2,ACCB,D,E 分别是棱 AB,B1C1 的中点,F 是 AC 的中点,求 DE,EF 的长度解 以点 C 为坐标原点,CA、CB、CC1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2,C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),|DE|(10)2(11)2(02)2 5,|EF|(01)2(10)2(20)2 6.Thank you for watching!