1、第四章 圆与方程 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 求圆的方程【例 1】求圆心在圆x322y22 上，且与 x 轴和直线 x12都相切的圆的方程解 设圆心坐标为(a，b)，半径为 r，因为圆x322y22 在直线 x12的右侧，且所求的圆与 x 轴和直线 x12都相切，所以 a12.所以 ra12，r|b|.又圆心(a，b)在圆x322y22 上，所以a322b22，联立ra12，r|b|，a322b22.解得a12，r1，b1.所以所求圆的方程是x122(y1)21，或x122(y1)21.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式(2
2、)由题意得 a,b,r(或 D,E,F)的方程(组).(3)解出 a,b,r(或 D,E,F).(4)代入圆的方程跟进训练1已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数且与直线 4x3y290 相切，求圆的方程解 设圆心为 M(m，0)(mZ)，由于圆与直线 4x3y290 相切，且半径为 5，所以|4m29|55，即|4m29|25，因为 m 为整数，故 m1，故所求圆的方程为(x1)2y225.直线与圆的位置关系【例 2】已知直线 l：2mxy8m30 和圆 C：x2y26x12y200.(1)mR 时，证明 l 与 C 总相交；(2)m 取何值时，l 被 C 截得的弦长最短
3、，求此弦长解(1)证明：直线的方程可化为 y32m(x4)，由点斜式可知，直线过点 P(4,3).由于 42(3)26412(3)20150，所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交(2)如图，当圆心 C(3,6)到直线 l 的距离最大时，线段 AB 的长度最短此时 PCl，所以直线 l 的斜率为13，所以 m16.在 RtAPC 中，|PC|10，|AC|r5，所以|AP|2|AC|2|PC|2251015，所以|AP|15，所以|AB|2 15，即最短弦长为 2 15.直线与圆位置关系的判断：求出圆心到直线的距离 d 与 r 比较或由直线与圆联立方程组消去一个变量，得到一元二次方程
4、，判断判别式的符号dr相离0dr相切0dr相交0 跟进训练2已知圆 C 关于直线 xy20 对称，且过点 P(2,2)和原点O.(1)求圆 C 的方程；(2)相互垂直的两条直线 l1，l2 都过点 A(1,0)，若 l1，l2 被圆 C所截得弦长相等，求此时直线 l1 的方程解(1)由题意知，直线 xy20 过圆 C 的圆心，设圆心 C(a,a2).由题意，得(a2)2(a22)2a2(a2)2，解得 a2.因为圆心 C(2，0)，半径 r2，所以圆 C 的方程为(x2)2y24.(2)由题意知，直线 l1，l2 的斜率存在且不为 0，设 l1 的斜率为 k，则 l2 的斜率为1k，所以 l1
5、：yk(x1)，即 kxyk0，l2：y1k(x1)，即 xky10.由题意，得圆心 C 到直线 l1，l2 的距离相等，所以|2kk|k21|21|k21，解得 k1，所以直线 l1 的方程为 xy10 或 xy10.圆与圆的位置关系【例 3】已知圆 C1：x2y24x4y50 与圆 C2：x2y28x4y70.(1)证明圆 C1 与圆 C2 相切，并求过切点的两圆公切线的方程；(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程解(1)证明：把圆 C1 与圆 C2 都化为标准方程形式，得(x2)2(y2)213，(x4)2(y2)213.圆心与半径长分别为 C1(2，2)，r1 13
6、；C2(4，2)，r2 13.因为|C1C2|（24）2（22）22 13r1r2，所以圆 C1 与圆 C2 相切由x2y24x4y50，x2y28x4y70，得 12x8y120，即 3x2y30，就是过切点的两圆公切线的方程(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2y24x4y5(3x2y3)0.点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得 43.所以所求圆的方程为 x2y24x4y543(3x2y3)0，即x2y28x203 y90.判断两圆位置关系的两种比较方法：(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系，(其中 Rr)dRr外离，dRr外切，RrdRr相交，dRr内
7、切，0dRr内含(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系xy30 AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2 的连心线 C1C2.又C1(3，0)，C2(0，3)，所以 C1C2 所在直线的方程为 xy30.跟进训练3已知圆 C1：x2y26x70 与圆 C2：x2y26y270 相交于 A,B 两点，则线段 AB 的中垂线方程为_空间中点的坐标及距离公式的应用【例 4】如图，已知正方体 ABC
8、D-ABCD的棱长为 a，M 为BD的中点，点 N 在 AC上，且|AN|3|NC|，试求|MN|的长解 由题意应先建立坐标系，以 D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系因为正方体棱长为 a，所以 B(a，a，0)，A(a，0，a)，C(0，a，a)，D(0，0，a).由于 M 为 BD的中点，取 AC的中点 O，所以Ma2，a2，a2，Oa2，a2，a.因为|AN|3|NC|，所以 N 为 AC的四等分点，从而 N 为 OC的中点，故 Na4，3a4，a.根据空间两点间的距离公式，可得|MN|a2a42a23a42a2a2 64 a.求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：(1)求空间两点间的
9、距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定跟进训练4如图所示，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E 分别是棱 AB，B1C1 的中点，F 是 AC 的中点，求 DE，EF 的长度解 以点 C 为坐标原点，CA、CB、CC1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2，C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，|DE|（10）2（11）2（02）2 5，|EF|（01）2（10）2（20）2 6.Thank you for watching!