1、2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程自主预习探新知情景引入我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1 600 m的“千岛湖”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)若把“马鞍山”舰和“千岛湖”舰看成两个定点A、B，快艇看成动点M，M满足什么条件？新知导学1双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的_绝对值_等于常数(_小于_|F1F2|)的点的轨迹(2)符号表示：2a(常数)(02a0，b0)_1(a0，b0)_焦点坐标_(c,0)、(c,0)
2、_(0，c)、(0，c)_a，b，c关系c2_a2b2_预习自测1平面内，到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是(D)A椭圆B线段C双曲线D两条射线解析由题意可知|MF1|MF2|6，|F1F2|6，|F1F2|，因此点M的轨迹是两条射线2焦点分别为(2,0)，(2,0)，且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(A)Ax21By21Cy21D1解析双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题知c2，a2b24.又点(2,3)在双曲线上，1.由解得a21，b23，所求双曲线的标准方程为x21.3双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为(
3、C)A(，0)B(，0)C(，0)D(，0)解析双曲线方程x22y21化为x21，a21，b2，c2a2b2，c，双曲线的右焦点坐标为(，0)4经过点P(3,2)和Q(6，7)的双曲线的标准方程是_1_.解析设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得.故双曲线的标准方程为1.5已知双曲线过点(，0)，且与椭圆1有相同的焦点，求双曲线的方程解析椭圆1的焦点为(5,0)，所求双曲线的焦点为(5,0)，设双曲线方程为1，把(，0)代入，得1，解得a25.双曲线的标准方程为1.互动探究攻重难互动探究解疑命题方向双曲线定义的应用典例1 椭圆1(mn0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F1，F2
4、，且P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|等于_ma_.思路分析因为涉及与焦点的距离问题，可以首先考虑利用定义解决解析由椭圆的定义得|PF1|PF2|2，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2，由2减去2的差再除以4得|PF1|PF2|ma.规律方法在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式跟踪练习1_P是双曲线1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|17，则|PF2|的值为_33_.解析在双曲线1中，a8，b6，故c
5、10.由P是双曲线上一点得，|PF1|PF2|16.|PF2|1或|PF2|33.又|PF2|ca2，|PF2|33.命题方向待定系数法求双曲线的标准方程典例2 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点(3，4)和(，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程思路分析可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方程注意对平方关系c2a2b2的运用解析(1)由已知可设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则，解得.双曲线的标准方程为1.(2)解法一：设双曲线方程为1(a0，b0)，由题意易求得c2.又双曲线过点
6、(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为1.解法二：设双曲线方程为1，将点(3，2)代入得k4，所求双曲线方程为1.规律方法1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两坐标轴都有可能；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为1或1(a0，b0)，焦点不定时，亦可设为mx2ny21(mn0，n0)以简化运算，同理求经过两定点的双曲线方程也可设为mx2ny21，但这里应有mn0，b0)，则有，a25，b24.所求的双曲线的方程为1.命题方向双曲线的焦点三角形问题典例3 设双曲线1，F1、F2是其两个焦
7、点，点P在双曲线右支上(1)若F1PF290，求F1PF2的面积；(2)若F1PF260时，F1PF2的面积是多少？若F1PF2120时，F1PF2的面积又是多少？思路分析由于三角形面积SF1PF2|PF1|PF2|sin，所以只要求出|PF1|PF2|即可因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出|PF1|PF2|.解析(1)由双曲线方程知a2，b3，c，设|PF1|r1，|PF2|r2(r1r2)，如图所示由双曲线定义，有r1r22a4，两边平方得rr2r1r216.F1PF290，rr4c24()252.2r1r2521636，SF1PF2r1r29.(2)若F1PF260，在F1PF2中，由
8、余弦定理得|F1F2|2rr2r1r2cos 60(r1r2)2r1r2，而r1r24，|F1F2|2，r1r236.于是SF1PF2r1r2sin 60369.同理可求得若F1PF2120时，SF1PF23.规律方法双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点另外，还经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系，请同学们多加注意跟踪练习3_若F1、F2是双曲线1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小解析由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a3，
9、b4，c5.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6.上式两边平方，得|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|3664100，由余弦定理，得cos F1PF20.F1PF290.学科核心素养分类讨论思想的应用 典例4 已知方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型思路分析解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论解析(1)当k0时，y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程为1，表示焦点在y轴上的
10、椭圆规律方法解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征跟踪练习4_讨论方程1(m3)所表示的曲线类型解析当2m0,2m0，此时方程1表示焦点在x轴上的双曲线；当m2m0，此时方程1表示焦点在x轴上的椭圆易混易错警示注意参数取值范围对解题的影响 典例5 已知双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，求k的值错解将双曲线方程化为标准方程1.因为焦点在y轴上，所以a2，b2，所以c3，即9，所以k.错解分析上述解法有两处错误：一是a2、b2确定错误，应该是a2，b2；二是a、b、c的关系式用错了在双曲线中应为c2a2b2.正解将双曲线方程化为kx2y21，即1.因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以c3，a2，b2，所以a2b2c29.所以k1.
