1、第1页大题加练(四)解析几何第2页1(2019郑州市质量预测)已知抛物线 C：y24x 的焦点为F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过 A，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为 M，N.R 为准线上一点(1)若 ARFN，求|MR|MN|的值；(2)若点 R 为线段 MN 的中点，设以线段 AB 为直径的圆为圆 E，判断点 R 与圆 E 的位置关系第3页解：由已知，得 F(1,0)，设直线 l 的方程为 xmy1，与抛物线 y24x 联立，得y24x，xmy1，消去 x，得 y24my40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y24.由题
2、知 M(1，y1)，N(1，y2)，设 R(1，yR)第4页(1)ARFN，即ARFN，AR(1x1，yRy1)，FN(2，y2)，0(1x1)y22(yRy1)(2my1)y22(yRy1)2(y1y2)my1y22yR4m2yR，yR2my1y22，则 R 是 MN 的中点，|MR|MN|12.第5页(2)若 R 是 MN 的中点，则 R(1,2m)，RA RB(x11，y12m)(x21，y22m)(my12，y12m)(my22，y22m)(my12)(my22)(y12m)(y22m)(m21)y1y24m244(m21)4m240.因此，点 R 在以 AB 为直径的圆 E 上第6页
3、2(2019洛阳市第二次联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 kOMkON54，求证：点(m，k)在定圆上第7页解：(1)设椭圆 C 的焦距为 2c，由已知 eca 32，2b2，a2b2c2，得 b1，a2，椭圆 C 的标准方程为x24y21.(2)证明：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得ykxm，x24y21，(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得 m24k21.第8页由根与
4、系数的关系得，x1x28km4k21，x1x24m214k21，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若 kOMkON54，则y1y2x1x254，即 4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4m214k21 4km8km4k214m20，第9页即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得 m2k254.由得 0m265，1200)上的一点，抛物线 E 在点 M 处的切线方程为 yx1.(1)求 E 的方程；(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线 l1，l2 的斜率之积为 1，且直线 l1，l2 分别交抛
5、物线 E 于 A，B 两点和 C，D 两点，是否存在常数 使得|AB|CD|AB|CD|成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由第11页解：(1)解法 1：由yx1，x22py，消去 y 得 x22px2p0.由题意得 4p28p0，因为 p0，所以 p2.故抛物线 E：x24y.解法 2：设 M(x0，x202p)，由 x22py 得 yx22p，则 yxp.由x0p1，x202px01，解得 p2.故抛物线 E：x24y.第12页(2)假设存在常数 使得|AB|CD|AB|CD|成立，则 1|AB|1|CD|.由题意知，l1，l2 的斜率存在且均不为零，设直线 l1 的方程为 ykx
6、1(k0)，则由ykx1，x24y，消去 y 得，x24kx40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24.所以|AB|1k2x1x224x1x21k216k2164(1k2)(也可以由 y1y2k(x1x2)24k22，得到|AB|y1y224(1k2)第13页因为直线 l1，l2 的斜率之积为 1，所以|CD|4(11k2)所以 1|AB|1|CD|141k21411k2 1k241k214.所以存在常数 14使得|AB|CD|AB|CD|成立第14页4(2019石家庄市一模)已知抛物线 C：y22px(p0)上一点 P(x0,2)到焦点 F 的距离|PF|2x
7、0.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 P 引圆 M：(x3)2y2r2(00，解得p2，x01，所以抛物线 C 的方程为 y24x.第16页(2)由题意知，过 P 引圆(x3)2y2r2(02，所以9b0)的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)过 F2 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2：(x1)2y24a2 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连接 AF1 并延长交圆 F2 于点 B，连接 BF2交椭圆 C 于点 E，连接 DF1.已知 DF152.第20页(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求点 E 的坐标第21页解：(1)设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1
8、(1,0)，F2(1,0)，所以 F1F22，c1.又因为 DF152，AF2x 轴，所以 DF2 DF21F1F225222232.因此 2aDF1DF24，从而 a2.由 b2a2c2，得 b23.因此，椭圆 C 的标准方程为x24y231.第22页(2)解法 1：由(1)知，椭圆 C：x24y231，a2.因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x1 代入圆 F2 的方程(x1)2y216，解得 y4.第23页因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1,4)又 F1(1,0)，所以直线 AF1：y2x2.由y2x2，x12y216，得 5x26x110，解得 x1 或 x115
9、.将 x115 代入 y2x2，得 y125.因此 B115，125.第24页又 F2(1,0)，所以直线 BF2：y34(x1)由y34x1，x24y231，得 7x26x130，解得 x1 或 x137.又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 x1.将 x1 代入 y34(x1)，得 y32.因此 E1，32.第25页解法 2：由(1)知，椭圆 C：x24y231.如图，连接 EF1.因为 BF22a，EF1EF22a，所以 EF1EB，从而BF1EB.第26页因为 F2AF2B，所以AB.所以ABF1E，从而 EF1F2A.因为 AF2x 轴，所以 EF1x 轴因为 F1(1,0
10、)，由x1，x24y231，解得 y32.又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点，所以 y32.因此 E1，32.第27页6(2019浙江卷)如图，已知点 F(1,0)为抛物线 y22px(p0)的焦点过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧记AFG，CQG 的面积分别为 S1，S2.(1)求 p 的值及抛物线的标准方程；(2)求S1S2的最小值及此时点 G 的坐标第28页解：(1)由题意得p21，即 p2.所以，抛物线的准线方程为 x1.(2)设 A(xA，yA)，B(xB，
11、yB)，C(xC，yC)，重心 G(xG，yG)令yA2t，t0，则 xAt2.由于直线 AB 过点 F，故直线 AB 的方程为 xt212t y1，代入 y24x，得 y22t21ty40，故2tyB4，即 yB2t，所以 B(1t2，2t)第29页又由于 xG13(xAxBxC)，yG13(yAyByC)及重心 G 在x 轴上，故 2t2tyC0，得 C(1tt)2,2(1tt)，G(2t42t223t2，0)所以，直线 AC 的方程为 y2t2t(xt2)，得 Q(t21,0)由于 Q 在焦点 F 的右侧，故 t22.从而S1S212|FG|yA|12|QG|yC|第30页|2t42t223t21|2t|t212t42t223t2|2t2t|2t4t2t41 2t22t41.令 mt22，则 m0，S1S22mm24m321m3m4212m3m41 32.当 m 3时，S1S2取得最小值 1 32，此时 G(2,0)
