1、A13.正弦定理与余弦定理一、基础知识1.正弦定理：在中,角所对的边分别为则为外接圆半径.2.余弦定理：在中,角所对的边分别为则 3.三角形面积公式 ：二、典型例题与基本方法1.在中,若,则等于 2.在中,面积为,那么的长度为 3.已知锐角的内角的对边分别为,若,则面积的取值范围是 4.在中,分别为内角所对的边,且满足,若点是外一点,则平面四边形面积的最大值是 5.在直角梯形中,则 6.在中,点在边上,且,则的值为 7.在中,是的内心,若,其中,则动点的轨迹所覆盖的面积为 8.已知平面四边形为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线,其余各边均在此直线的同侧),且,则平面四边形面积的最大
2、值为 9.在中,则的最大值为 10.中,是边的一个三等分点(靠近点),记,则当取最大值时, 11.在中,若,则 12.在中,角所对的边分别是.已知. (1)求角的大小； (2)若的面积,求的值.13.在中,三个内角所对的边分别为,已知,且(1)求角的大小； (2)若的外接圆的半径为1,求的面积.B13.练习 姓名： 1.已知中,那么角等于 2.在中,已知,则的最大值是 3. 已知分别是的三个内角的对边,且,则面积的最大值为 4.在平面四边形中,则的取值范围是 5.已知分别为的三个内角的对边,且,则 6.在锐角中,的对边分别为,则 7.在中,内角所对的边分别是,已知.(1)求； (2)求的值.8
3、.设函数.(1)求函数的单调区间；(2)在锐角中,角所对的边分别为,若,求面积的最大值.A13.正弦定理与余弦定理一、基础知识1.正弦定理：在中,角所对的边分别为则为外接圆半径.2.余弦定理：在中,角所对的边分别为则 3.三角形面积公式 ：二、典型例题与基本方法1.在中,若,则等于 解：2.在中,面积为,那么的长度为 解： 3.已知锐角的内角的对边分别为,若,则面积的取值范围是 解：因为,所以,所以,所以,所以由,可得,所以因为为锐角,可得,所以,可得.4.在中,分别为内角所对的边,且满足,若点是外一点,则平面四边形面积的最大值是 解：由,化为,所以,所以.所以,又,所以是等边三角形,设该三角
4、形的边长为,则.当时,取得最大值.5.在直角梯形中,则 解：过点作 于点,连接,如图所示,设,则,易知为的中点,所以.在中,由余弦定理得.6.在中,点在边上,且,则的值为 解：如图,过作,垂足为,取中点,连接,则所以和共线,所以点和点重合,所以是的中点.由中线长定理可得,又,所以可得,由正弦定理可得,所以 7.在中,是的内心,若,其中,则动点的轨迹所覆盖的面积为 解：因为其中,所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形 的内部(含边界).因为所以,所以,解得又,所以.设内切圆的半径为,则,所以所以,所以动点的轨迹所覆盖的面积为8.已知平面四边形为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线,其余各
5、边均在此直线的同侧),且,则平面四边形面积的最大值为 解：设 AC=x, 在 ABC 中,由余弦定理有 x2=22+42-224cosB=20-16cosB,同理,在 ADC 中,由余弦定理有 x2=32+52-235cosD=34-30cosD,所以 15cosD-8cosB=7.又平面四边形 ABCD 面积为 S=1224sinB+1235sinD=128sinB+15sinD,所以 8sinB+15sinD=2s. 平方相加得 64+225+240sinBsinD-cosBcosD=49+4S2,所以 -240cosB+D=4S2-240,当 B+D= 时,S 取最大值 230.9.在中
6、,则的最大值为 解：由正弦定理,知 ABsinC=3sin60=BCsinA,所以 AB=2sinC,BC=2sinA.因为 A+C=120,所以 AB+2BC=2sinC+4sin120-C=2sinC+2sin120cosC-2cos120sinC=2sinC+3cosC+sinC=22sinC+3cosC=27sinC+. 其中 tan=32, 是第一象限的角.因为 0C120,且 是第一象限角,所以 AB+2BC 有最大值 27.10.中,是边的一个三等分点(靠近点),记,则当取最大值时, 解：因为 sinA-B=sinC-sinB,所以 sinAcosB-cosAsinB=sinC-
7、sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB. 所以 sinB=2cosAsinB,因为 sinB0,所以 cosA=12,由 A0,可得：A=3,在 ADB 中,由正弦定理可将 sinABDsinBAD=,变形为 ADDB=,即 AD=DB=13a,因为 AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13BA+AC=23AB+13AC, 所以 AD2=23AB+13AC2,即 a22=4c2+b2+2bc, 在 ACB 中,由余弦定理得：a2=b2+c2-bc, 由 得 2=4cb+bc+2cb+bc-1,令 cb=t,2=ft=4t+1t+2t+1t-1=4t2+2t+1t2-t+1,
8、ft=-6t2+6t+3t2-t+12,令 ft=0,得 t=1+32,即 cb=1+32 时, 最大.结合 可得 b=3-1c,a=32-62c,在 ACB 中,由正弦定理得 asinA=csinCsinC=6+24,tanC=2+3. 11.在中,若,则 解：由 AB+ACBC=23BC2,得 AB+ACAC-AB=23BC2,即 AC2-AB2=23BC2,所以 b2-c2=23a2,即 b2=c2+23a2,又因为 b2=a2+c2-2accosB,由与得 c2+23a2=a2+c2-2accosB,所以 a=6ccosB,由正弦定理得 sinA=6sinCcosB,所以 sinA=s
9、inBcosC+cosBsinC=6sinCcosB,所以 sinBcosC=5sinCcosB,所以 sinBcosBsinCcosC=5,故 tanBtanC=5. 12.在中,角所对的边分别是.已知.(1)求角的大小；(2)若的面积,求的值.解： (1) 由cos2A-3cosB+C=1,得 2cos2A+3cosA-2=0,即 2cosA-1cosA+2=0,解得 cosA=12 或 cosA=-2（舍去）.因为 0A,所以 A=3.(2)由 S=12bcsinA=12bc32=34bc=53,得 bc=20.又 b=5,故 c=4.由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=2
10、5+16-20=21,故 a=21.又由正弦定理,得 sinBsinC=basinAcasinA=bca2sin2A=202134=57.13.在中,三个内角所对的边分别为,已知,且(1)求角的大小； (2)若的外接圆的半径为1,求的面积.解： (1) 因为 ab,所以 sin2B-sin2C+sinAsinC-sinA=0, 即 sinAsinC=sin2A+sin2C-sin2B,由正弦定理得：ac=a2+c2-b2,所以 cosB=a2+c2-b22ac=12,因为 B0,所以 B=3.(2) 因为 ccosA=b,所以 bc=b2+c2-a22bc,即 b2=c2-a2,又 ac=a2
11、+c2-b2,b=2RsinB=3,解得：a=1,c=2.所以 SABC=12acsinB=32.B13.练习 姓名： 1.已知中,那么角等于 解：2.在中,已知,则的最大值是 解：由正、余弦定理转换为边则有 c2=a2+2b23, cosC=a2+b2-c22ab=2a2+b26ab23,sinC=1-cos2C73.3. 已知分别是的三个内角的对边,且,则面积的最大值为 解：由 2+bsinA-sinB=c-bsinC 及正弦定理可得,2+ba-b=c-bcb2+c2-bc=4,所以 cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-42bc=bc2bc=12,因为 A0,所以 A=3.又 b
12、2+c2-bc=42bc-bc=bc,所以 bc4,当且仅当 b=c=2 时取等号,此时 ABC 为等边三角形,且面积最大,故 Smax=12bcsinA=122232=3.4.在平面四边形中,则的取值范围是 解：延长 BA,CD,交于点 A2,作 CA1DA 交 AB 于点 A1,则 BA1BABA2.在 A1BC 中 BCsinBA1C=BA1sinBCA1,求得 BA1=6-2；在 A2BC 中,BA2sinBCD=BCsinA2,求得 BA2=6+2.所以,AB 的取值范围为 6-2,6+2.5.已知分别为的三个内角的对边,且,则 解：由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcosC,所
13、以 2abcosC=ab,从而 cosC=12,C=3.又 4sinAsinB=3=4sinAsin23-A,展开得 sinA32cosA+12sinA=34,于是有 3sin2A-cos2A=2=2sin2A-6.结合内角范围知 2A-6=2,所以 A=3.从而 B=3.故 tanA2+tanB2+tanC2=3,其他方法：由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcosC,所以 2abcosC=ab,从而 cosC=12,sinC=32.于是 sinAsinB=34=sin2C,由正弦定理得 ab=c2.从而 a2+b2-ab=ab,得 a=b,故 a=b=c,A=B=C=3,故tanA2+t
14、anB2+tanC2=3. 6.在锐角中,的对边分别为,则 解：由已知 ba+ab=6cosC 及余弦定理 cosC=a2+b2-c22ab,可得2a2+2b2=3c2.而tanCtanA+tanCtanB=sin2CcosCsinAsinB=6c2a2+b2,将代入可得结果为 4. 7.在中,内角所对的边分别是,已知.(1)求； (2)求的值.解： (1) 因为,所以由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=25+16-25412=21.则 a=21.(2) 由正弦定理得,bsinB=csinC=asinA=2132=27,所以 sinB=b27=527=5714,sinC=427=2
15、77,所以 sinBsinC=5714277=57.8.设函数.(1)求函数的单调区间；(2)在锐角中,角所对的边分别为,若,求面积的最大值.解： (1) 函数 fx=sinxcosx-sin2x-4xR.化简可得：fx=12sin2x-121-cos2x-2=sin2x-12,令 2k-22x2k+2kZ,则 k-4xk+4kZ,即 fx 的递增区间为 k-4,k+4kZ,令 2k+22x2k+32kZ,则 k+4xk+34kZ,可得 fx 的递减区间为 k+4,k+34kZ.(2) 由 fC2=0 得,sinC=12,因为 ABC 是锐角三角形,所以 C=6,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC,将 c=2,C=6 代入得 4=a2+b2-3ab,由基本不等式得 a2+b2=4+3ab2ab,即 ab42+3,所以 SABC=12absinC1242+312=2+3,即面积的最大值为 2+3.
