1、惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题（文科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1.已知集合，则 （ ） A. B. C. D.2.复数等于（ ） A. B. C. D.3.在数列中，公比，则的值为（ ）A7 B8 C9 D164.某城市修建经济适用房已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为
2、（ ）A40B36C30D205.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）ABCD 6.已知平面向量的夹角为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）A. B. C. D. 8.执行如图所示程序框图若输入，则输出的值是（ ）A B C D开始结束输入是否输出9.圆与直线相切于第三象限，则的值是（ ）A B C D10.设函数有三个零点，且则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分11.在中，若，则
3、= .12.不等式组表示的平面区域的面积是 .13.定义映射，其中，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:，若，；，则 . EDCBAO14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，为极点，直线过圆：的圆心，且与直线垂直，则直线的极坐标方程为 15.(几何证明选讲选做题) 如图示，是半圆周上的两个三等分点，直径，垂足为，则的长为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期和最小值；（2）若，求的值.组别候车时间人数一 2二6三4四2五117.（本小题满分12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的
4、60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率18.（本小题满分14分）在正方体中，棱长为2，是棱上中点，是棱中点，A1B1CBD1C1ADEP（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积19（本小题满分14分）设数列的前项和为，点在直线上，（1）证明数列为等比数列，并求出其通项；（2）设，记，求数列的前和20（本小题满分14分）如图，,是椭圆的两个顶点, ，直线的斜率为（1） 求椭圆的方程；（2）设直线平行于
5、，与轴分别交于点，与椭圆相交于，证明：的面积等于的面积21(本小题满分14分）已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.惠州市2014届高三第一次调研考试试题数 学（文科）答案一、选择题题号12345678910答案CDBCDCACCC【解析】1. ，故，选C2. ，选D3.数列为，等比数列，选B4.设从乙社区抽取户，则，解得 ，选C5.不是偶函数，是周期函数，在区间上不是单调递减，在区间上单调递增，故选D。6.，选C7.由三视图可知，三棱柱
6、的高为1，底面正三角形的高为，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为，两底面积为，所以表面积为，选A.8. ，故选C9. 解得，因为圆与直线相切于第三象限，由图可知，故选C。10，令 故+00+递增极大值递减极小值递增又因为，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，1，选C.二、填空题11. 12. 13.2 14. 15. 【解析】11.由余弦定理解得12.不等式组表示的可行域如图所示，故面积为13.由题意可知，EDCBAO14. 圆C的直角坐标方程为，故圆心C为，过圆心且与OC垂直的直线为，转为极坐标方程为。15.依题意知,则,代入解得。三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出
7、文字说明、证明过程和演算步骤16.解：（1）已知函数即 2分 3分当时，即，4分6分（2）8分由，解得：10分 11分所以 12分17.解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于人.4分（2）设第三组的乘客为，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.5分所得基本事件共有15种，即： 8分其中事件包含基本事件，共8种，10分由古典概型可得， 12分18.解：（1）取中点，连接， A1B1CBD1C1ADEPQ则为中位线，2分而正方体，是棱上中点，故，4分，所以四边形为平行四边形。， 6分而
8、面，面，故8分（2）正方体中，故为高，10分 12分故14分19.解：（1）1分时，2分时，3分两式相减得：，5分是以为首项，为公比的等比数列. 6分7分(2) ，则，9分10分-得：11分 13分14分20（1）解：依题意，整理得 2分解得 ， 3分所以 椭圆的方程为 4分（2）证明：由于/，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得 6分 设，所以 8分证法一：记的面积是，的面积是由， 则10分因为 ，所以 ，13分从而 14分证法二：记的面积是，的面积是则线段的中点重合 10分因为 ，所以 ，故线段的中点为 因为 ，所以 线段的中点坐标亦为13分从而 14分21.解：（1）的定义域为1分，2分故单调递增；单调递减，3分时，取得极大值，无极小值。4分（2），若函数在上单调递增，则对恒成立5分，只需6分时，则，7分故，的取值范围为8分（3）假设存在，不妨设，9分10分由得，整理得11分令，12分，在上单调递增，13分，故不存在符合题意的两点。14分
