1、A11.平面向量数量积一、基础知识1.两个非零向量与,我们把数量叫做与的数量积.记为.所以规定零向量与任意向量的数量积为0. 叫做向量在方向上的投影.2.则3.设,是两个非零向量,则特别地二、典型例题与基本方法1.设单位向量的夹角为,则在方向上的投影为 2.在等腰梯形中,已知点和点分别在线段和上,且则的值为 3.在中,是的中点,点在上,且满足的值为 4.如图,是以为直径圆上的两点,其中,则 5.已知菱形 的边长为,点分别在边上,若,则 6.在中,分别为角的对边,若向量与的夹角为,则角的大小为 7.在平面中,点满足,若,则的值为 8.已知则 9.已知若则与的夹角为 10.已知中,点是线段(含端点
2、)上的一点,且,则 的取值范围是 11.已知平面向量满足,则的最大值是 12.在中,若的垂直平分线交或其延长线于,则的值为 13. 如图,是矩形的边上的一点,与相交于点(1)求证：是的中点；(2)若是上异于点的一动点,求的最小值.B11.练习 姓名： 1.已知菱形的边长为,则 2.已知平面向量满足且,则向量与夹角的余弦值为 3.已知若则实数 4.在中,为边上一点,且满足,且,则 5.如图,在直角梯形 中,是的中点,则 6.已知向量满足则在上投影的最大值为 7. 在四边形中,已知(1)若四边形是矩形,求的值；(2)若四边形是平行四边形,且,求与夹角的余弦值.8.已知(1)求与的夹角的余弦值；(2
3、)求；(3)求在方向上的投影.A11.平面向量数量积一、基础知识1.两个非零向量与,我们把数量叫做与的数量积.记为.所以规定零向量与任意向量的数量积为0. 叫做向量在方向上的投影.2.则3.设,是两个非零向量,则特别地二、典型例题与基本方法1.设单位向量的夹角为,则在方向上的投影为 解：2.在等腰梯形中,已知点和点分别在线段和上,且则的值为 解：在三角形中易得同理故所以所以所以 .3.在中,是的中点,点在上,且满足的值为 解：.4.如图,是以为直径圆上的两点,其中,则 解：连接,则5.已知菱形 的边长为,点分别在边上,若,则 解：以为基向量,则可得.6.在中,分别为角的对边,若向量与的夹角为,
4、则角的大小为 解：由题意得：,即.7.在平面中,点满足,若,则的值为 解：不妨设,由,得,又,所以即,整理得,解得.8.已知则 解：9.已知若则与的夹角为 解：10.已知中,点是线段(含端点)上的一点,且,则 的取值范围是 解：因为,所以.因为,所以,所以又,所以.所以即(当且仅当或时取等号).综上可知法2 在方向上的投影为在的垂直平分线上,可知11.已知平面向量满足,则的最大值是 解：点位于以线段为直径的圆上,且为等边三角形.所以要使取得最大值,即需要使向量在向量方向上的投影取最大值.当圆在点处的切线平行于时,投影最大.所以的最大值是12.在中,若的垂直平分线交或其延长线于,则的值为 解：
5、13. 如图,是矩形的边上的一点,与相交于点(1)求证：是的中点；(2)若是上异于点的一动点,求的最小值.解： (1) 设,由题意知：又解得 即是的中点(2)法1：又,最小值为法2：设,且又当,最小值为法3：以为原点,所在直线为轴,所在在直线为轴建立平面直角坐标系,由题意可设点,且.,.又 当,即与重合时,有最小值,且最小值为B11.练习 姓名： 1.已知菱形的边长为,则 解： 2.已知平面向量满足且,则向量与夹角的余弦值为 解：3.已知若则实数 解：4.在中,为边上一点,且满足,且,则 解：1445.如图,在直角梯形 中,是的中点,则 解：6.已知向量满足则在上投影的最大值为 解：在上投影的最大值为7. 在四边形中,已知(1)若四边形是矩形,求的值；(2)若四边形是平行四边形,且,求与夹角的余弦值.解： (1) 18 (2)8.已知(1)求与的夹角的余弦值；(2)求；(3)求在方向上的投影.解：(1) (2).(3在方向上的投影.
