1、成都市实验外国语学校2023届第五次质量检测数学文科一 单项选择题 （每题5分，共12道小题，共计60分）1. 已知集合 A=x2x2,B=xx0,b0)的一个焦点为F, 以F为圆心,a2+b2为半径的圆与双曲 线C的两条渐近线分别交于A,B两点 (异于原点O), 若四边形OAFB为菱形, 则双曲线C的离心率等于（ ）A.2B.3 C.2D.23312. 已知两个不相等的正实数 x,y满足ylnxy=1yx, 则下列结论一定正确的是（ ）A.x+y=1B.xy=1 C.x+y2D.0x+y1时, 则将销售数据xi,yi称 为一个 “次数据”. 现从 5 个销售数据中任取 2 个, 求恰好取到
2、2 个 “次数据” 的概率.(参考数据及公式: i=15xiyi=313,i=15xi2=135, 线性回归方程中b,a的最小二乘估计分别为b=i=1nxiyinxyi=1nxi2nx2,a=ybx）19. （本题满分12分）如图, 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC, 侧面BB1C1C为菱形, 且B1BC=60, 点D为棱A1A的中点,DB1=DC, 平面B1CD平面BB1C1C.( I ) 若 BB1=2,CD=2, 求三棱锥DB1BC的体积;(II) 设平面 B1CD与平面ABC的交线为l, 求证:l平面BB1C1C.20. （本题满分12分）已知函数 f(x)=
3、13x3a+12x2+ax,a(1,2).(I) 求函数 f(x)的单调减区间;(II) 已知曲线 g(x)=x2+a22x,x0,f(x),x0在点Pixi,gxi(i=1,2,3)处的切线互相平行, 且x1x2x30, 求证:x1+x2+x318.21. （本题满分12分）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点F(1,0), 点P62,12在椭圆C上.( I ) 求椭圆 C的方程;(II) 若过点 F的直线l与C交于A,B两点, 过点F与l垂直的直线与C交于M,N两点,求 AMBN的取值范围.选做题（22题，23题，选做一题，多做或做错按照第一题计分）22. （本题满分10分
4、）在直角坐标系 xOy中, 曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数). 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线l的极坐标方程为sin63m=0.( I ) 写出 l的直角坐标方程;(II) 已知点 P(0,2m), 若l与C交于A,B两点, 且|PA|PB|=32, 求m的值.23. （本题满分10分）已知函数 f(x)=|x+2|+|xm|.( I ) 若对 xR,f(x)3恒成立, 求实数m的取值范围;(II) 若 f(x)的最小值为 5 , 且正数a,b,c满足a+3b+4c=m. 求证:a2+2ab+5b2+c212.参考答案及解析1. 【答案】A 【解
5、析】因为 A=x2x2;,B=xx1，则AB=x2x2且2xx2，解得:23x2，在三角形 ABD中，由余弦定理得:cosADB=AD2+1(2x)22AD，在三角形 ACD中，由余弦定理得:cosADC=AD2+1x22AD，因为 ADB+ADC=，所以 cosADB+cosADC=AD2+1(2x)22AD+AD2+1x22AD=0，解得: AD2=52x21，由余弦定理得: cosADC=52x21+1x2252x21=34x452x21，23x0，故ADC0,2.由于 f(x)=cosx在0,2上单调递减，g(x)=tanx在0,2单调递增，故当 cosADC取得最小值时，tanADC
6、取得最大值，此时 sinADC=1cos2ADC=45，tanADC=43.17. 【答案】(I)an=13n1;(II) 见解析 【解析】解: (I) 因为 a2,6a3,a1成等差数列,所以 a2+a1=12a3,即 12q2q1=0，解得 q=13或q=14(舍去),所以数列 an是以a1=1为首项, 公比为13的等比数列,所以 an=13n1;(II) 若选. 因为 bn=2log13an+1=2log1313n1+1=2n1,所以 bn是以a1=1为首项, 公差为 2 的等差数列,所以 Tn=n(1+2n1)2=n2；若选. 因为 bn=an2+1=132n2+1=19n1+1,所以
7、 bn1是以 1 为首项, 公比为19的等比数列,所以 Tn=119n119+n=98119n+n.18. 【解析】解: (I) 由已知得, x=3+4+5+6+75=5,y=20+16+15+12+65=13.8,因为 i=15xiyi=313,i=15xi2=135,所以 b=i=1nxiyinxyi=1nxi2nx2=3135513.8135552=3210=3.2,a=ybx=13.8(3.2)5=29.8,所以所求线性回归方程 y=3.2x+29.8.(II) 当 x1=3时,y1=20.2; 当x2=4时,y2=17; 当x3=5时,y3=13.8; 当x4=6时,y4=10.6；
8、 当x5=7时,y5=7.4;所以“次数据”有 3 个, 设选取的 2 个数据恰好是 2 个“次数据”为事件 A, 因为从 5 个 数据中选取 2 个数据共有 10 种情况,其中从 3 个“次数据”中取到 2 个“次数据”有 3 种情况,所以 P(A)=310.19. 【解析】证明: (I) 因为 DB1=DC, 取B1C中点E, 连接DE,所以 DEB1C,因为平面 B1CD平面BB1C1C, 且交线为B1C,DE平面B1CD, 所以DE平面BB1C1C,由已知 B1BC是正三角形, 所以B1C=2,在 Rt CDE中, 因为CE=1,CD=2, 所以DE=1,所以三棱锥 DB1BC的体积为
9、13SB1BCDE=1312231=33;(II) 分别延长 B1D,BA, 设BAB1D=F, 连接CF,则 CF即为平面B1CD与平面ABC的交线l,因为 D为棱A1A的中点,A1B1/AB,所以 D为B1F的中点, 所以l/DE,由 (I) 知 DE平面BB1C1C, .所以 l平面BB1C1C.20. 【解析】(I) 因为 f(x)=13x3a+12x2+ax,所以 f(x)=x2(a+1)x+a=(x1)(xa),(1) 当 a=1时,f(x)=(x1)20, 函数f(x)在定义域上为增函数;(2) 当 1a1时, 函数f(x)的单调减区间为(a,1),(3) 当 1a0分别在(,0
10、),0,a+12上是减函数, 在a+12,+上 是增函数, 又因为曲线g(x)在点Pixi,gxi(i=1,2,3)处的切线平行,所以 gx1=gx2=gx3,不妨设 x10x2x3,则 2x1+a22=x22(a+1)x2+a=x32(a+1)x3+a,所以 x2+x3=a+1, 且0x2a+12x3, .所以 ga+12gx2g(0)=a22,故 2x1+a22=gx212a212a1,即 x1+x2+x312a212a1+a+1=12a+1221818,所以 x1+x2+x318.21. 【解析】(I) 因为 P62,12在C上, 所以32a2+14b2=1,因为 C的左焦点F(1,0)
11、, 所以a2b2=1,所以 a2=2,b2=1,C的方程为x22+y2=1;(II) 当直线 l与x轴重合时, 点A(2,0),B(2,0),M1,22,N1,22,AM=21,22,BN=21,22, 所以AMBN=32, 当直线 l与x轴不重合时, 设直线l的方程为x=my1,代入 x22+y2=1消去x得m2+2y22my1=0,因为直线 l与C交于点Ax1,y1,Bx2,y2, 所以y1y2=1m2+2,因为 AMBN=(AF+FM)(BF+FN)=AFBF+FMFN,所以 AFBF=x1+1x2+1+y1y2=1+m2y1y2=m2+1m2+2.(1) 当 m0时, 同理可得FMFN
12、=1m2+11m2+2=m2+12m2+1,AMBN=m2+1m2+2m2+12m2+1=3m2+122m4+5m2+2=3212m2+2m2+51,因为 m2+1m22,所以 AMBN的取值范围是32,43,（2）当 m=0时,AMBN=32,综上知 AMBN的取值范围是32,4322. 【解析】(I) 由 sin63m=0, 得sincos6cossin63m=0, 所以32sin12cos3m=0,又x=cos,y=sin，所以 32y12x3m=0,即 l的直角坐标方程为x3y+23m=0;(II) 曲线 C的普通方程为:x23+y2=1,直线 l的参数方程为:x=32t,y=2m+1
13、2t(t为参数),代入 x23+y2=1整理得:t2+4mt+8m22=0设 A,B两点所对应的参数分别为t1,t2, 则t1t2=8m22,因为 |PA|PB|=32, 所以t1t2=8m22=32, 即m2=116或m2=716,因为 m2=116, 或m2=716, 满足=16m2+80,所以 m=14或74.23. 【解析】(I) 因为 f(x)=|x+2|+|xm|x+2(xm)|=|m+2|,若对 xR, f(x)3恒成立, 则|m+2|3,所以 m5, 或m1,所以实数 m的取值范围是(,51,+);(II) 由 (I) 知, f(x)的最小值为|m+2|, 所以|m+2|=5, .所以 m=3或7, 因为m0, 所以m=3,即 a+3b+4c=3,由柯西不等式得 a2+2ab+5b2+c212+12+42=(a+b)2+(2b)2+c212+12+42(a+b)1+2b1+c42=(a+3b+4c)2=9,所以 a2+2ab+5b2+c212(当且仅当a=112,b=112,c=23时等号).
