1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-3 计数原理 第一章 1.2 排列与组合第一章 第1课时 排列课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习2014年教师节，习近平主席来到北师大视察，听完一节课后与老师们座谈有12位教师参加，面对习主席坐成一排问：这12位教师的坐法共有多少种？1.分类加法计数原理中各类加法有何关系？分步乘法计数原理中各个步骤有何关系？2应用两个计数原理解题时应注意哪些问题？答案：1.分类加法计数原理中各类办法相互独立，即“类类互斥”，且每一类都能独立完成这件事；分步乘法计数原理中各个步骤相互依存，缺一不可，即“步步关联”，且每一个
2、步骤都不能独立完成这件事2(1)确定计数原理：要分清涉及的问题从大的方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题(2)处理好类与步的关系：对于较为复杂的题目，在某一类中需要分步计算所用的方法，而在某一步中又可能分类计算所用的方法，两都要有机结合(3)注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏一、排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列注意：(1)排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”研究的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是互不相同的(2)从定
3、义知，只有当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列(3)判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换任意两个元素的位置(这里的位置应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序有序的就是排列问题(4)定义中规定mn，即当mn时，每次只是取出一部分元素，这样的一个排列叫选排列；当mn时，即每次取出全部的元素，这样的一个排列叫全排列(2015徐州期末)用1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的三位数共有_个(用数
4、字作答)答案 60解析 数字 1,2,3,4,5 可组成没有重复数字的三位数，选 3个再全排列，故有 A3560 个导学号98570029二、排列数的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示注意：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数三、排列数公式(1)Amnn(n1)(n2)(nm1)(2)我们把正整数由 1 到 n 的连
5、乘积，叫做 n 的阶乘，用 n！表示，规定 0！1，排列数公式还可以写成 Amnn！nm！，全排列公式可写成 Annn！.注意：(1)在排列数公式 Amn中，m，n 满足的条件是 m，nN*，且 mn，在具体问题中一定要特别注意这一隐含条件(2)第一个公式 Amn n(n1)(nm1)适用于具体计算及解当 m 较小时的含有排列数的方程或不等式在运用该公式时要注意其特点：第一个因数是 n，最后一个因数是 nm1，共有 m 个连续的自然数相乘(3)第二个公式 Amnn！nm！适用于与排列数有关的化简、证明、解方程、解不等式等在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算同时还要注意隐含条件“m，nN*，
6、且 mn”的应用(4)n！表示 n 的阶乘，其计算公式为 n！n(n1)(n2)21.答案 C设 mN，且 m15，则(15m)(16m)(20m)等于()AA615m BA15m20mCA620mDA520m解析 原式(20m)(19m)(16m)(15m)(20m)(19m)(16m)(20m)k1，且 15m(20m)k1，k6.原式Ak20mA620m.导学号98570030四、几类特殊排列问题的解决方法1相邻元素捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序2插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的
7、元素插入由其他元素形成的空当3缩倍法：某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘3名男生，4名女生，按照不同的要求排列，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，男生必须排在一起；(2)全体站成一排，男生不能排在一起；(3)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(4)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(5)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变导学号98570031解析(1)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列，故 NA55A33720(种)(2)(插空法)先排女生有 A44种排法，男生在 4 个
8、女生隔成的五个空中安排有 A35种排法，故 NA44A351440(种)(3)(捆绑法)先从甲、乙二人之外的 5 人中选二人站在甲、乙二人之间，有 A25种排法；甲、乙二人可交换位置有 A22种方法；将这四人看成一个整体，与余下 3 人全排列，有 A44种故由分步乘法计算原理，有 NA25A22A44960(种)(4)甲与乙之间的左右关系各占一半，故 NA77A222 520(种)(5)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的 1A33，故 NA77A33840(种)五、有限制条件的排列应用问题的解法(1)解答这类有限制条件的排列问题，常用的方法有“直接法”和“间接法”(即剔除
9、不符合限制条件的情况，因而间接法又称为排除法)，如果问题的正面分的类较多或正面问题计算较复杂，而反面问题分的类少或计算较简便，往往采用“间接法”(2)用“直接法”来解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能
10、既考虑元素又考虑位置(4)不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题其常见的附加条件有：奇偶数、倍数关系、大小关系等，也可以有相邻问题、插空问题，也可以与数列等知识相联系解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决尤其不能疏忽这类问题的隐含条件上“0不能在首位”(2016四川理，4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24B48C60D72答案 D导学号98570032解析 由题意，可知个位可以从 1,3,5
11、中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行 全 排 列，有 A 44 种 方 法，所 以 奇 数 的 个 数 为 A 13 A 44 3432172，故选 D.课堂典例探究判断下列问题是否是排列问题：(1)从1,2,3,5中任取两个不同的数相加(乘)可得多少种不同的结果？(2)有12个车站，共需准备多少种车票？(3)从学号为1到10的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？(4)平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？排列定义的理解和应用导学号98570033解析(1)与顺序无关，不是排列问题；(2)满足
12、排列的定义，是排列问题；(3)与顺序无关，不是排列问题；(4)由于确定直线时与两点顺序无关，所以不是排列问题，而确定射线与两点顺序有关，所以确定射线是排列问题下列问题是排列问题吗？(1)从5个人中选取两个人去完成某项工作(2)从5个人中选取两个人担任正副组长解析(1)不是，甲和乙去与乙和甲去完成这项工作是同一种选法(2)是，甲担任组长、乙担任副组长，与甲担任副组长、乙担任组长是不同的方法.导学号98570034(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列分析 对于第(1)问每次取出的两个数是1,2,3
13、,4中的任意两个，且取出的两个数在两位数上的位置任意，对于第(2)问从4个元素中任取3个，位置任意解答本题可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有排列简单的排列问题导学号98570035解析(1)由题意作树形图，如图1234 2134 3124 4123故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个(2)由题意作树形图，如图故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共 24 个某年
14、全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解析 从 14 个队中任取两个队，因为分主、客场比赛，故应视为与顺序有关，因此为排列问题，共需比赛 A2141413182 场.导学号98570036三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解有约束条件的排列问题导学号98570037解析(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看作一个整体，这样
15、同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有 A66种不同排法对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 A33种不同的排法，因此共有 A66A334320(种)不同的排法(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有 4 个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有 A55种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 A36种方法，因此共有 A55A3614 400(种)不同的排法(3)解法
16、 1：(位置分析法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个，有 A25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 A66种排法，所以共有 A25A6614 400(种)不同的排法解法 2：(间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的有 A13A77种排法和女生排在末位的 A13A77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有A23A66种不同的排法，所以共有 A882A13A77A23A6614 400(种)不同的排
17、法(4)解法 1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有 A15A77种不同的排法；如果首位排女生，有 A13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有 A13A15A66种不同排法因此共有 A15A77A13A15A6636 000(种)不同排法解法 2：3 个女生和 5 个男生排成一排有 A88种排法，从中扣去两端都是女生的排法 A23A66种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 A88A23A6636 000(种)不同的排法方法总结 1.解决排列、应用问题最常用、最基本的方法是位置分析法和元素分析法(1)若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，
18、再处理其他位置有两个以上约束条件，往往在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件(2)若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他的元素2间接法有时也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得更简单、明快3捆绑法、插入法适用于某些问题，要认真搞清在什么条件下使用一般地，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？(用式子表达)(1)男甲必排在首位；(2)男甲、男乙必排在正中间；(3)男甲不在首位，男乙不在末位；(4)男甲、男乙必排在一起；(5)4名女生排在一起；(6)任何两个女生都不得相邻；(7)男生甲、乙、丙顺序一定导学号98570038解析(1
19、)先满足甲，再排余下的 9 人，共有 A99种排法(2)先排甲、乙，再排余下的 8 人，共有 A22A88种不同排法(3)解法 1：(直接法)甲不在首位，按甲的排法分类：若甲在末位，则有 A99种不同排法；若甲不在末位，则甲有 A18种排法，乙有 A18种排法，其余有 A88种排法，共有 A18A18A88种排法综所述上，共有 A99A18A18A88种不同排法解法 2：(间接法)共有 A10102A99A88种不同排法(4)甲、乙相邻，则先把甲、乙“捆绑”，再与其余 8 个元素排列，共有 A22A99种不同排法(5)A44A77.(6)任何 2 名女生不能相邻，则把女生插空，所以先排男生再让
20、女生插到男生的空中，共有 A66A47种不同的排法(7)10 人的所有站法有 A1010种，其中甲、乙、丙的顺序有 A33种又对应甲、乙、丙的每一种顺序，其余 7 人的排法种数是相同的，所以甲、乙、丙顺序一定的排法种数有A1010A33 种有关排列数的计算或证明计算下列各题：(1)Am1n1AnmnmAn1n1；(2)1！22！33！nn！；(3)12！23！34！n1n！.导学号98570039解析(1)原式n1！n1m1！(nm)！1n1！n1！nm！(nm)！1n1！1.(2)原式(2！1)(3！2！)(4！3！)(n1)！n！(n1)！1.(3)n1n！1n1！1n！，12！23！34
21、！n1n！11！12！12！13！13！14！1n1！1n！1 1n！.方法总结 准确掌握好排列数公式是顺利进行计算的关键本题计算中灵活地用到下列各式：n！n(n1)！；nn！(n1)！n！；n1n！1n1！1n！.使问题解得简单、快捷计算：(1)A58A48A69A59；(2)A112A223A33nAnn.解析(1)原式4A48A484A59A595A483A59 5A4839A48 527.(2)kAkk(k1)AkkAkkAk1k1Akk，原式1(A33A22)(A44A33)(An1n1Ann)An1n11A22An1n11.方法总结一般地，AmnmAm1n，应是 Amn(nm1)Am1n.导学号98570040由 1,2,3,4 和 0 组成无重复数字的自然数的个数为()AA55BA15A25A35A45A55C4A44D4(1A14A24A34A44)1错解 A 或 B导学号98570041辨析(1)0不能作首位；(2)自然数可能有1位，2位，3位，4位，5位五种情况正解 可分 5 类；组成一位数 5 个；组成两位数 A14A14个；组成三位数 A14A24个；组成四位数 A14A34个；组成五位数 A14A44个，共计 4(1A14A24A34A44)1 个故选 D.答案 D排列排列的概念理解排列数公式理解排列数的应用理解化简、求值证明课 时 作 业（点此链接）
