1、试卷第 1页，总 4页内江六中 2019-2020 学年度高 2022 届高一（下）期半期考试数学试题（参考答案）一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）1C2B3D4D5A6C7B8C9A10.D11C12B12.【分析】设 ABC的最大角为 B，最小角为C，可得出1ba，1ca，由题意得出2BC，由二倍角公式sinsin 22sincosBCCC，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于 a 的方程，求出 a 的值，可得出cosC 的值.【详解】设 ABC的最大角为 B，最小角为C，可得出1ba，1ca，由题意得出2BC，sinsin 22sincosBCCC，所以，2 cosbc
2、C，即2cosbCc，即222babccab，将1ba，1ca 代入222babccab得1411aaaa，解得5a，6b，4c，则63cos284bCc，故选 B.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 314 121531616.【解析】等边三角形 ABC 的边长为 2,22,故正确；，故错误，正确；由于夹角为，故错误；又，故正确 因此，正确的编号是考点：本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用.三、解答题（共 6 小题，共 70
3、分）17（本小题满分 10 分）已知向量 a、b的夹角为 2,|1,|23ab.（1）求 ab 的值；（2）若 2ab和tab垂直，求实数t 的值.【答案】（1）1；（2）2.【分析】（1）利用数量积的定义直接计算即可（2）利用 20tbaba 可求实数t 的值【详解】（1）21cos1 2132a ba b 5 分（2）因为2ab和tab垂直，故 20tbaba，整理得到：22220tat a bb 即1221 2402tt ，解得2t 10 分【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b，本题属于基础题18（本小题满分 12 分）已知23c
4、os(),.41024（1）求sin 的值；试卷第 2页，总 4页（2）求sin(2)3 的值.【来源】2008 年高考天津卷理科数学试题【答案】（）4sin5（）247 3sin 2350【解析】（）因为3,24，所以,44 2，于是27 2sin()1 cos()44102 分7 22224sinsin()sin()coscos()sin44444410210256 分（）因为3,24，故2243cos1 sin1()55 8 分2247sin 22sincos,cos22cos12525 10 分所以247 3sin(2)sin 2coscos2 sin33350 12 分19（本小题满
5、分 12 分）在平面直角坐标系中，已知向量2a，3b，且 326ab.（1）求向量,a b 的夹角；（2）求 22abab的值.【来源】2020 届河南省八市重点高中联盟领军考试高三 11 月数学（文)试题【答案】（1）3（2）-1【解析】【分析】（1）根据题意，将 326abrr平方，利用数量积定义，代入2a，3b r，计算即可求解；（2）由（1）中求解的夹角 值，可知3a b，根据向量数量积运算定律，即可求解.【详解】（1）因为 326ab，所以22232912436abaa bb ，所以36 12 2 3cos3636，解得1cos2.3 分又因为0,，所以3.6 分（2）由（1）可得c
6、osa ba b 12 332.9 分所以 2222232ababaa bb 22223 32 3 1 .12 分【点睛】本题考查（1）定义法求向量夹角（2）向量的数量积运算，属于基础题.试卷第 3页，总 4页20（本小题满分 12 分）已知1tan3 ，5cos,5,(0,)（1）求 tan()的值；（2）求函数()2 sin()cos()f xxx的最大值【来源】2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（江西卷)【答案】(1)1;（2）()f x 的最大值为5.【解析】（1）由5cos,5(0,)得 tan2，2 5sin5 2 分于是 tan()=12tantan3121tant
7、an13.6 分（2）因为1tan,(0,)3 所以13sin,cos1010 8 分3 5552 5()sincoscossin5555f xxxxx 5 sin x 10 分()f x 的最大值为5.12 分21（本小题满分 12 分）如图，ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c 已知sin3 cos0,2 7,2AAab.（1）求角 A 和边长c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC,求ABD的面积.【答案】（1）23，4；（2）3.【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出 tan3A 从而可得 A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2
8、）先根据余弦定理求出cosC，求出CD 的长，可得12CDBC，从而得到12ABDABCSS，进而可得结果.试题解析：（1）sin3 cos0,tan3AAA，20,3AA，2 分由余弦定理可得2222cosabcbcA，即212842 22cc ，4 分即22240cc，解得6c （舍去）或4c，故4c.6 分(2)2222coscbaabC，162842 2 72 cos C ，22cos,72cos77ACCCDC，8 分12CDBC试卷第 4页，总 4页1134 22 3222ABCSAB AC sin BAC ，10 分132ABDABCSS.12 分22（本小题满分 12 分）如图
9、，公园里有一湖泊，其边界由两条线段,AB AC 和以 BC 为直径的半圆弧 BC组成，其中 AC 为 2 百米，,ACBCA为 3 若在半圆弧 BC，线段 AC，线段 AB 上各建一个观赏亭,D E F，再修两条栈道,DE DF，使/,/DEAB DFAC.记32CBD（1）试用 表示 BD 的长；（2）试确定点 E 的位置，使两条栈道长度之和最大.【来源】【全国市级联考】江苏省南京市 2018 届高三第三次模拟考试数学试题【答案】（1）2 3 cos；（2）E 与C 重合.【解析】分析：（1）解直角三角形 BDC 用 表示 BD 的长.(2)先利用正弦定理求出 DF4cossin(6)，再求
10、出 DEAF=442cos ，再利用三角函数求 DEDF 的最大值.详解：（1）连结 DC在ABC 中，AC 为 2 百米，ACBC，A 为 3，所以CBA 6，AB4，BC 2 3 2 分因为 BC 为直径，所以BDC 2，所以 BDBC cos 2 3 cos4 分（2）在BDF 中，DBF 6，BFD 3，BD 2 3 cos，所以62DFBFBDsin BFDsinsin，所以 DF4cossin(6)，且 BF42cos ，6 分所以 DEAF=442cos ，7 分所以 DEDF442cos 4 cos sin(6)=3 sin2cos232 sin(2 6)39 分因为 3 2，所以 2 2 6 56，所以当 2 6 2，即 3 时，DEDF 有最大值 5，此时 E 与 C 重合11 分答：当 E 与 C 重合时，两条栈道长度之和最大12 分点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法.(2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出 DEDF3sin2cos232 sin(2 6)3，再根据 3 2，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.
