1、2.反比例函数的图象与性质学习目标：1.会利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线. 2.通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.3.会用待定系数法求反比例函数的表达式.自主学习一、知识链接1.正比例函数图象是什么形状？分别写出各自有怎样的性质？2.在直角坐标系中，由函数表达式画函数图象主要的步骤有哪些？ 合作探究一、探究过程探究点1：反比例函数的图象活动1:画出反比例函数的图象.（1）列表：x-6-3-2-11236(2) 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在如图所示的直角坐标系中描出对应的点.（3） 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，就得到反比例函
2、数的图象.问题1：（1） 反比例函数的图象与坐标轴有交点吗？为什么？（2）仅凭两个点的坐标，能画出反比例函数的图象吗？活动2：画出反比例函数的图象问题2：（1）这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？（2）反比例函数(k0)的图象在哪两个象限内？【要点归纳】反比例函数（k为常数，且k0）的图象由分别位于_个象限内的_条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线.当k0时，函数的图象在第_象限；当k0时，函数的图象在第_象限.例1 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值【针对训练】若双曲线y的两个分支分别在第一、三象限，则k的取值范围是（）A. k B.k C.k D.不存在探究点2：反比例
3、函数的性质思考：联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？【要点归纳】反比例函数有下列性质：(1)当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减少；(2)当k0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增大例2 已知函数为反比例函数(1)求m的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？(3)当3x时，求此函数的最大值和最小值例3在反比例函数y的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1x2
4、0x3，则下列各式正确的是（）A.y3y1y2 B.y3y2y1C.y2y1y3 D.y1y3y2【方法总结】此题有多种解法，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.【针对训练】若点A（2，a）、B（1，b）、C（3，c）在反比例函数（k0）图象上，则a、b、c从大到小排列是 .探究点3：求反比例函数的表达式例4已知反比例函数的图象过点(1,2)(1)求这个函数的表达式；(2)若点A(5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 【针对训练】已知y是x的反比例函数，当x4时，y3.(1) 写出y与x的函数表达式；(2
5、) 当x2时，求y的值；(3)当y12时，求x的值【方法总结】(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y(k0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式y(k0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值探究点4：反比例函数表达式中 k 的几何意义操作：1. 在反比例函数的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形. 填写下列表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系P(2，2)，Q(4，1)2. 若在反比例函数中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：S1的值S2的值S1与S2的关
6、系猜想与k的关系P(1，4)，Q(2，2)猜想：证明：若点P是反比例函数图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.【方法总结】对于反比例函数，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= |k|.推理：如图，QAO与QBO的面积和 k 的关系是SQAO=SQBO=.例5如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且 AOC 的面积为 2，则该反比例函数的表达式为 二、课堂小结反比例函数的图象和性质图象和性质k0
7、时，图象位于第_象限，在每个象限内，y随x的增大而_.k0时，图象在第一、三象限；当k0时，图象在第二、四象限.【要点归纳】两 两 一、三 二、四【典例精析】例1 解：由题意得2-m2=-1，且m+1ac探究点3：求反比例函数的表达式例4 解：(1)，将(1,2)代入，得-2=k，则函数表达式为.(2) 当x=-5时，y=，即A(-5，).点A关于x轴和y轴对称的点不在图象上，关于原点对称的点在图象上，坐标为(5，-).【针对训练】解：(1) (2) y=6. (3) x=-1.探究点4：反比例函数表达式中 k 的几何意义操作：1. 从左到右依次填：4 4 S1=S2 S1=S2=k2. 从左到右依次填：4 4 S1=S2 S1=S2=-k猜想：证明 ：我们就 k 0 的情况给出证明：解：设点 P 的坐标为 (a，b)，点 P (a，b) 在函数的图象上，即 ab=k.若点 P 在第二象限，则 a0， S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；若点 P 在第四象限，则 a0，b3 5. 6. 当x4时，y；当x6时，y；当x的值由4增加到6时，y的值减少3，3，解得k36.这个反比例函数的表达式为y.
