1、成都外国语学校2018-2019学年度上学期开学考试数学试题（理工类）满分：150分，时间：120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.若复数，复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D.4. 设函数，则（ ）A. 1 B. 2 C. D. 5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，
2、至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为（ ） A. B. C. D. 6已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ）A B C. D8设，则（ ）A. B. C. D. 9.定义域为的奇函数的图像关于直线对称，且，则（ ）A. 2018 B. 2020 C. 4034 D. 210.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D.11.已知椭圆的左、右焦点分別为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为
3、直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A B C. D 12. 已知函数，若函数与有相同的值域，则的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.计算_.14. 已知满足，则的最大值为_15. 当函数，取得最小值时，_.16. 已知平面向量满足，且与的夹角为150，则的取值范围是_ .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一） 必做题：共60分。17. （本小题满分10分）记为等差数列的前项和，已知，（）求的通项公式；（）设，求数列的
4、前项和18.（本小题满分12分）如图1，在中，,分别为，的中点，为的中点， ，将沿折起到的位置，使得平面平面， 为的中点，如图2（）求证： 平面；（）求二面角的平面角的余弦值.图1 图2 19. （本小题满分12分）生蚝即牡蛎是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如下表所示：（）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（
5、所得结果保留整数）；（）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（）求抛物线的方程；（）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21. （本小题满分12分）设函数（）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；（）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.（二） 选做题：共10分。
6、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为（）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围 23（本题满分10分）选修45：不等式选讲设函数（）当时，求不等式的解集；（）若对恒成立，求的取值范围。数学试题（理工类）参考答案一、 选择题：15, DBCDC 610, ABCAD 1112,DA二、 填空题：13, 1 14， 4 15，
7、16， 三、 解答题:17、解析（1）；（2）错位相减法，18.解：（）取线段的中点，连接， 因为在中， ， 分别为， 的中点，所以 ， 因为 ， 分别为， 的中点，所以 ， ， 所以 ， ，所以 四边形为平行四边形，所以 因为 平面， 平面，所以 平面 6分（）分别以为轴建立空间直角坐标系，则面的法向量, , ,则,设面的法向量，则，解得，所以，所以所以二面角的平面角的余弦值. 12分19.解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为，所以购进，生蚝的数列均为（只）；（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在间的概率为，的可能取值为，则,所以的分布列为所以 20.解：（1）由题意知，设，则的
8、中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去），由，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，设，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意知，得.设，则，当时，可得直线的方程为，由，整理可得，所以直线恒过点，当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.21.解：（1）因为，所以又因为，所以，即3分（2）因为，所以，令，则，令，解得，令，解得，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，当时，画出函数的图象，要使函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.8分由上知，不妨设，则，要证，只需证，因为，且函数在上单调递减，所以只需证，由，所以只需，即证，即证对恒成立，令，则因为，所以，所以恒成立，则函数在的单调递减，所以，综上所述.12分22.解：（）由（为参数）消去参数得：，将曲线的方程化成极坐标方程得：，曲线是以为圆心为半径的圆 5分（）设，由与圆M联立方程可得，O，A，C三点共线，则 ，用代替可得, 10分23（1）等价于或或，解得或。故不等式的解集为。（2）因为：，所以：。由题意得：，解得或。
