1、三角形全等的判定（1）_1、理解全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS；2、能运用判定方法判定两个三角形全等；3、经理探索判定方法判定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.1SSS_的两个三角形全等（简称SSS）这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有_的原理2.利用SSS证明三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等如下图，已知：ABC与DEF的三条边对应相等，求证：ABCDEF证明：在ABC与DEF中，ABCDEF（SSS）3.利用SSS作一个角等于已知角用直尺和圆规作一个角等于已知角的示
2、意图如图所示，说明的依据是_4边角边定理三角形全等判定方法2：_和它们的_分别相等的两个三角形全等（简称SAS）符号语言：在ABC与DEF中，ABCDEF（SAS）图示：5探索边边角两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形_等6ASA_分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA如下图，已知D=E，ADAE，12求证：ABDACE证明：12（已知）1CAD2CAD（相等的角加同一个角仍相等）即BADCAE在ABD和ACE中，D=E（已知）AD=AE（已知）BADCAE（等量相加）ABDACE（ASA）7AAS_分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB
3、,C=B求证：ACDABE证明：在ACD和ABE中C=B（已知）A=A（公共角）DC=EB（已知）ACDABE（AAS）参考答案：1.三边分别相等 稳定性3.全等三角形的对应角相等4.两边 夹角5.不一定全6.两角和它们的夹边7.两个角和其中一个角的对边1.先证明对应边相等，再证全等（利用中点、等量相加等）【例1】如图所示，在ABC和FED中，ADFC，ABFE，BCED，求证：ABCFED【解析】ADFC，ADDCFCDC，即ACFD在ABC和FED中，ABCFED（SSS）总结：利用“SSS”证明两个三角形全等，有如下几种常见类型：（1）有公共边的两个三角形（2）有公共线段的两个三角形，我
4、们可以用等量相加或相减，推出两边相等（3）含有中点的两个三角形，如图：AB=AC，D是BC的中点，由中点的定义可得：BD=CD继而可证ABDACD练1.如图，已知AC=BD，0是AB、CD的中点，求证AOCBOD【解析】要证AOCBOD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等证明：O是是AB、CD的中点，AO=BO，CO=DO在AOC和BOD中，AOCBOD2.先利用SSS证明三角形全等，继而证明边（角）相等，或求边（角）【例2】如图所示，ABDC，ACDB，求证：12【解析】在ABC与DCB中，ABCDCB（SSS）.ABCDCB，ACBDBC.ABCDBCDCBACB.即12总结：1.要求
5、证在两个不同三角形内的角相等，往往利用全等三角形的性质.2.当两个角所在的三角形不易证全等时，可以利用等量的和（差）相等，将问题转化.3.求证不在同一个三角形内的两边相等，同样可以利用全等三角形的性质.练2.如图是“人”字形屋梁，ABAC现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD那么这根AD符合“垂直”的要求吗？为什么？【解析】ADBC符合要求，理由如下：点D是BC的中点，BDCD在ABD和ACD中，ABDACD（SSS）.ADBADC.又ADBADC180，ADBADC90ADBC练3.如图所示，已知：A，C，F，D四点在同一直线上，A
6、BDE，BCEF，AFDC，求证：ABDE.【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：AD，即可证明ABDE证明：AFDC，AFCFDCCFACDF在ABC与DEF中，ABCDEF（SSS）ADABDE练4.已知：如图所示，在四边形ABCD中，ABCB，ADCD，求证：CA.【解析】连接BD，在ABD和CBD中，ABDCBD（SSS）CA练5.如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADCB，求证：AD180.【解析】证明：连接AC，在ADC与CBA中，ADCCBA（SSS），ACDCAB，ABCD，AD1803利用SAS直接证明三角形全等【例3】如图所示，ABC，DEF均为锐
7、角三角形，AB=DE，AC=DF，A=D求证：ABCDEF【解析】直接根据SAS可证明ABCDEF证明：在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）总结：运用“边角边”判定两个三角形全等时，（1）同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边”的顺序书写；（2）注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等；（3）条件里的三个元素必须对应，一个三角形中的元素依次是“边角边”，另一个三角形的元素也必须依次是“边角边”，如果是其他“边边角”或“角边边”，则两个三角形不一定全等；（4）在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，如果把夹角改为其中一条边的对角，则不一定全等练6（2019秋天元区期末）如图，在
8、ABC和DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定ABCDEF，还需的条件是（ ）AA=D BB=E CC=F D以上三个均可以【解析】根据三角形全等的判定中的SAS，即两边夹角做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，要由位置选择方法解：要使两三角形全等，且SAS已知AB=DE，BC=EF，还差夹角，即B=E；A、C都不满足要求，D也就不能选取故选B练7如下图所示，已知12，AOBO，求证：AOCBOC【解析】两个三角形包含一个公共边，结合已知条件，根据SAS可证明AOCBOC证明：在AOC和BOC中，AOCBOC（SAS）4先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等【例
9、4】（2019春启东市校级月考）如图，AE=CF，ADBC，AD=CB求证：ADFCBE【解析】根据平行线的性质及全等三角形的判定定理“SAS”证得结论证明：AE=CF，AEEF=CFEF，即AF=CE又ADBC，A=C在ADF与CBE中，ADFCBE（SAS）总结：没有直接给出能证明三角形全等的条件时，（1）先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；如果已知两边，则要找第三边或夹角；如果已知一角和该角的一边，则需要找夹角的另一条边；（2）在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比如公共边、对顶角等，从而为解题
10、所用；（3）有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到练8（2019房山区二模）如图，已知AB=AD，AC=AE，1=2，求证：ABCADE【解析】已知1=2，BAE是公共角，从而可推出DAE=BAC，已知AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来判定ABCADE证明：1=2，1+BAE=2+BAE，即DAE=BAC在ABC和ADE中，ABCADE（SAS）练9（2019永春县质检）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，ACD=BCE求证：AECBDC【解析】根据ACD=BCE，可得出ACD+DCE=BCE+DCE，即ACE=BCD根据边角边公理可得出AECBDC证明：在AEC和BD
11、C中，点C是线段AB的中点，AC=BC，ACD=BCE，ACD+DCE=BCE+DCE，即ACE=BCD，在AEC和BDC中，AECBDC（SAS）点评：本题考查了全等三角形的判定SAS5.先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等【例5】（1）（2019十堰）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE求证：B=C【解析】首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角A=A可利用“SAS”定理证明ABEACD，进而得到B=C证明：在ABE和ACD中，ABEACD（SAS）B=C（2）（2019春鼓楼区校级月考）如图，点E，F在AC上，ABCD，AB=CD，AE=CF求证：
12、BF=DE【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE，根据SAS证明ABFCDE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论证明：ABCD，A=C，AE=CF，AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在ABF和CDE中，ABFCDE（SAS），BF=DE总结：综合利用三角形全等的判定与性质解题步骤如下：（1）由问题中的条件，依据三角形全等的判定方法证明两个三角形全等；（2）由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等练10（2019秋涞水县期末）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，A=50，B=30，则D的度数为（ ）A50 B.30 C80 D100【解析】利用SAS可证
13、明AODCOB，则D=B=30解：OA=OC，OD=OB，AOD=COB，AODCOB（SAS），D=B=30故选B练11（2019春锦州校级期中）如图，点B，E，C，F在同一直线上，在ABC与DEF中，AB=DE，AC=DF，若_=_，则ABCDEF，所以BC=_，因此BE=_【解析】根据三角形全等的判定方法SAS，若A=D时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果解：若A=D时，ABCDEF；在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS），BC=EF，BE=CF；故答案为：A=D，EF，CF6先用ASA证全等，再证边角相等【例6】如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，12，3
14、4求证：BODODCBAO1234【解析】先用“ASA”证明ABCADC，得出AB=AD，再用“SAS”证明ABOADO，可得出结论证明：在ABC和ADC中，ABCADC（ASA）.ABAD.在ABO与ADO中，ACOADO（SAS）.BODO总结：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决练12.如图所示，在ABC中，点O为AB的中点，ADBC，过点O的直线分别交AD，BC于点D，E，求证：ODOE.ADBECO【解析】点O为AB的中点，AOBOADBC，ADOBEO，DAOEBO.在AOD与BOE中，AODBO
15、E（AAS）.ODOE7先用AAS证全等，再证边角相等【例7】如图所示，12，CD，求证：ACADACDB12【解析】先利用AAS证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出ACAD证明：在ACB与ADB中，ACBADB（AAS）.ACAD总结：1. 由“ASA”与“AAS”可知，两个三角形如果有两个角及任意一边对应相等，那么这两个三角形相等2. 注意不用混淆“ASA”和“AAS”，“ASA”是两角及夹边对应相等，“AAS”是两角及一对边对应相等.练13.如图所示，C，F在BE上，AD，ACDF，BFEC求证：ABDEABCFED【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BCEF，应
16、用AAS可得ABCDEF，进而得出结论证明：ACDF，ACEDFB.又ACEACB180，DFBDFE180，ACBDFE.又BFEC，BFCFECCF，即BCEF.在ABC与DEF中，ABCDEF（AAS）.ABDE8灵活选用证明方法证（判断）全等【例8】如图所示，已知BDEF，BCEF，要证ABCDEF，若要以“ASA”为依据，还缺条件_；以“SAS”为依据，还缺条件_；以“AAS”为依据，还缺条件_.ADBEFC【解析】已知一组角和一组边相等,要依据“ASA”证全等就要求夹已知边的另一组角相等，故填ACB=DFE；要依据“SAS”证全等就要求夹已知角的另一组边相等，故填AB=DE；要依据
17、“AAS”证全等就要求另一组角相等，故填A=D.答案：ACBDFE；ABDE；AD总结：1.到目前为止，我们学习了4种证明三角形全等的方法，分别是“边边边” “边角边” “角边角” “角角边”.注意：三角形全等的判定方法中不存在“角边边”“角角角”2.“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”这四种判断方法中，都要求有一组边对应相等3.在寻求全等条件时，要注意结合图形挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线.4.以及平行线中包含的角的关系，垂直中包含的角的关系，以便顺利求解练14.如图所示，点D在AB上，点E在AC上，且BC，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABEACD的是（ ）.
18、A.ADAE B.AEBADCC.BECD D.ABAC【解析】选择A中的AD=AE，加上已知条件，可根据AAS证明ABEACD；选项B中给出AEBADC，加上已知条件，可得三对角相等，但三对角相等的三角形不一定全等；选项C中的 BECD，加上已知条件，可根据AAS证明ABEACD；选项D中的 ABAC，加上已知条件，可根据ASA证明ABEACD；故选：BBACDE练15.如图所示，BFAC，DEAC，垂足分别为点F，E，BFDE，BD，求证：AECF.DCEFAB【解析】BFAC，DEAC，DECBFA90.在BFA与DEC中，BFADEC（ASA）.AFCE.AFEFCEEF.AECF.练
19、16如图，将BOD绕点O旋转180后得到AOC，再过点O任意画一条与AC，BD都相交的直线MN，交点分别为M和N试问：线段OMON成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由【解析】OMON成立理由是：BOD绕点O旋转180后得到AOC，BODAOCAB，AOBO又AOMBON，AOMBON(ASA)OMON练17如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C置于直线上，ACBC，现过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为点D，E.ACDFEB【解析】（1）ACDCBE，证明：ACB90，ACDBCE90.又AD，CADACD90.BCECAD.BE，ADCCEB90.在ACD与CBE中，CADB
20、CE，ADCCEB，ACCB，ACDCBE（AAS）.（2）由（1）可知ACDCBE，ADCE，CDBE，ADCECDDEBEDE358.1如图所示，ABCD，OBOD，则由“ASA”可以直接判定_.ADCBO2如图所示，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，已知EHEB3，AE4，则CH的长是_3如图所示，已知点E，C在线段BF上，BECF，ABDE，ACBF求证：ABCDEFCEBFDA4如图所示，已知BE，BADEAC，ACAD，求证：ABAE.ABCDE5.（2019厦门校级一模）如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB=CD，EC=DF，ECDF
21、求证：ACEBDF_1.已知：如图，AB=CD，BE=DF，AF=EC。求证：BF=DE2.已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。求证：AG平分BAC3如图，AB=CD，AD=BC，O是BD上任意一点，边O点的直线分别交AD，BC于M，N点，求证：1=2。4如图，已知AC/FD，AF/CD，FB/EC。求证：AFBDCE。5如图，已知AD/BC，DAB和ABC的平分线相交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C。求证：DE=EC。6已知：如图，在ABC中，延长AC边中线BE到G，使EG=BE，延长AB边中线CD到F，使DF=CD。求证：G，A，F在同一直线上。7已知：如图，在AB
22、C中，B=60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O。求证：AE+CD=AC。8如图，EA平分CAB，且AB=AC+BD，E为CD中点，求证：BE平分ABD。9（2019年理工附期中）已知：如图，D是ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，ABE=ACE。求证：BAE=CAE。证明在AEB和AEC中，AEBACE。（第一步）BAE=CAE。（第二步）问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出正确过程。参考答案：当堂检测1AOB，COD.2【解析】AHE=CHD，利用和等角互余的两个角相等，EAH=ECB又AEH=CEB=90EH=EBA
23、EHCEB（AAS）CE=AE=4，EH=3，CH=4-3=1答案：13【解析】利用平行线，可得两同位角相等，再利用等量相加得BC=EF，即可证两三角形全等证明：ABDE，BDEF.BECF，BCEF.在ABC与DEF中，BDEF，BCEF，ACBF，ABCDEF（ASA）.4【解析】先证全等，再利用三角形的性质得出结论证明BADEAC，BADCADEACCAD.BACEAD，在ABC和AED中，ABCAED（AAS）.ABAE.5.【解析】AB=CD，AB+BC=CD+BC，即AC=BD又ECDF，ACE=BDF在ACE与BDF中，ACEBDF（SAS）家庭作业1.分析：图中全等三角形比较多
24、，由已知慢慢创建最终全等所需的条件，往往一次全等证明不出来，可多次使用多组全等证明：AF=ECAE=FCABECDF（SSS）A=C（全等三角形对应角相等）AFBCED（SAS）BF=DE（全等三角形对应边相等）2.分析：此题用三次全等慢慢将已知条件转化为我们所需的内容，最终通过证明角等得到平分。证明：ABEACD（SAS）B=C ADC=AEBBDG=CEGAB=AC，AD=AE，BD=CEBDGCEG（ASA）BG=GCABGACG（SAS）1=2即AG平分BAC3证ABDCDB，得ADB=CBD，则AD/BC，1=24连结FC5在AB上取AF=AD，连结EF，先证ADEAFE，再证EFBECB6证FAG=FAB+BAC+GAC=1807在AC上截取AF=AE，连结OF，证AEOAFO得AOE=AOF，再证CDOCFO，得CD=FC8D在AB上取AF=AC9不正确，错在第一步，正确的证明过程为：在EBC中，因BE=CE，故EBC=ECB。又因ABE=ACE，故ABC=ACB，AB=AC，可证出AEBAEC，BAE=CAE
