1、专题12 空间向量的坐标表示8种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、对空间向量基本定理的认识考点二、用基底表示空间向量问题考点三、空间向量基本定理的应用考点四、空间向量坐标系与空间向量的坐标表示考点五、空间向量数量积的坐标表示考点六、空间向量平行、垂直的坐标表示考点七、空间向量的夹角与长度的计算考点八、空间向量投影的计算一、空间向量基本定理1、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使.2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么空间的每一个都可由向量线性表示，我们把称为空间的一个基底，都叫做基向量。说明：空间任意三个不共面的向量都可以构
2、成空间的一个基底.二、空间向量的正交分解1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。三、空间直角坐标系(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz(2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面(3)z轴
3、正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90能与y轴的正半轴重合(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135(或45)，z轴与y轴(或x轴)垂直(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)四、空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底e1，e2，e3中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这
4、三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果pxe1ye2ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p(x，y，z)其中x，y，z都称为p的坐标分量五、空间向量的坐标运算(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.(2)aa|a|2.六、空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示
5、形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0a1b1a2b2a3b30模|a| |a|夹角cos a，b cos a，b 七、空间向量坐标的应用(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P21、基底的判断思路（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底；（2）判断基底时，常常依托于正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构成其他向量进行相关的判断、2、用基底表示向量的步
6、骤（1）变基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果。（3）下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量3、建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标4、向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空
7、间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直：向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；向量关系代数化：即写出向量的坐标；求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解考点剖析考点一、对空间向量基本定理的认识1（2023上陕西西安高二校联考阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（）ABCD2（2023上广东东莞高二校考期中）
8、若是空间的一个基底，且向量，不能构成空间的一个基底，则（）AB1C0D3（2023上河北高二校联考期中）已知平面，则空间的一个单位正交基底可以为（）ABCD4（2023上安徽亳州高二校考阶段练习）若为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（）ABCD5（2023上河南郑州高二郑州市第一一中学校联考期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）ABCD考点二、用基底表示空间向量问题6（2022上北京西城高二北师大二附中校考阶段练习）如图，在平行六面体中，若，则（）ABCD7（2011上辽宁营口高二统考期末）如图，在三棱柱中，若，则等于（）ABCD8（2016上贵州遵义高二统考期末）如图
9、，在四面体OABC中，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ）ABCD9（2023上青海西宁高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，已知，则用向量，可表示向量为（）ABCD10（2024上河南高二伊川县第一高中校联考阶段练习）如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（）A2BCD考点三、空间向量基本定理的应用11（2023上河南高二校联考阶段练习）已知四面体是的重心，若，则（）A4BCD12（2023上高二单元测试）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上满足，则（）A-BCD13（2023上河北保定高二河北定兴第三中学校联考期中）如图，在平行六面体中，为的中点，点满足若
10、四点在同一个平面上，则（）ABCD14（2023上天津北辰高二统考期中）在正方体中，为中点，使得，则（）A0B1C2D315（2023上山东菏泽高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，则 （）ABC6D5考点四、空间向量坐标系与空间向量的坐标表示16（2023上福建厦门高二厦门外国语学校校考阶段练习）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（）ABCD17（2024上陕西宝鸡高二校考期末）若向量，则（）ABCD18（2023上北京高二北京市第一六一中学校考阶段练习）已知点和点，则向量（）ABCD19（2023上山西大同高二统考期中）在长方体中，则（）ABCD20（2
11、023上山东东营高二利津县高级中学校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（）ABCD21（2023上湖北高二期末）已知点，直线DE平行所在的平面，则（）ABCD考点五、空间向量数量积的坐标表示22（2023上河北石家庄高二石家庄市第二十四中学校考期中）已知向量，则（）ABC4D1023（2023上云南昆明高二云南师大附中校考阶段练习）已知，则（）ABC9D1924（2023上安徽阜阳高二校考阶段练习）已知，则（）ABC2D25（2023上吉林松原高二前郭尔罗斯县第五中学校考期中）我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，四棱锥为
12、阳马，平面，且，则（）AB3C2D526（2023上吉林长春高二东北师大附中校考期中）在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（）ABCD考点六、空间向量平行、垂直的坐标表示27（2024上辽宁高一校联考期末）与向量共线的单位向量为 .28（2023上湖南衡阳高二校考期末）已知向量，且与平行，则 .29（2023上河北石家庄高二石家庄市第二十四中学校考期中）在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 30（2022上贵州黔东南高二校考期末）若三点共线，则 31（2023上山东日照高二校考阶段练习）已知点，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为 32（20
13、23上新疆喀什高二统考期末）已知空间向量， 且，则 .33（2023上四川达州高二校考阶段练习），若，则实数值为 .34（2023上天津武清高二校考阶段练习）已知向量，若与互相垂直，则 35（2023上四川凉山高二统考期中）已知向量，且与互相垂直，则k的值是 .36（2023上四川成都高二四川省成都市西北中学校考阶段练习）已知向量，且与互相垂直，则实数 .考点七、空间向量的夹角与长度的计算37（2023上山西太原高二统考期中）已知，则向量与的夹角为 38（2023上浙江嘉兴高二嘉兴高级中学校考期中）已知点，则向量与的夹角为 39（2023上山东高二济南市历城第二中学校联考阶段练习）已知向量，则
14、（）ABCD40（2023上陕西西安高二校考阶段练习）已知，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 .41（2023上广东珠海高二校考阶段练习）已知向量，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .42（2023上河南高二校联考期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系.(1)求证：；(2)若，求的值.43（2023上陕西咸阳高二校考阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则等于（ ）ABCD44（2023上四川绵阳高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设空间向量则（）A4B6C8D945（2023上天津高二天津市第一百中学校联考期中）向量，则（
15、）A9B3C1D46（2023上河南开封高二河南省兰考县第一高级中学校联考期中）设，且，则（）ABC3D47（2023上江西新余高二校考阶段练习）已知空间中三点，.(1)求；(2)求中边上中线的长度.考点八、空间向量投影的计算48（2024上湖南益阳高二南县第一中学校考期末）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量的模为（）ABCD49（2024上吉林高二校联考期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量（）ABCD50（2024上重庆九龙坡高二统考期末）已知向量，则在上的投影向量为（）ABCD51（2023上河北高二校联考期中）如图，在三棱锥中，平面，且，则在方向上的投影向量为（）ABCD52（2
16、023上江苏苏州高三统考阶段练习）如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（）ABCD过关检测一、单选题1（2024上上海高二上海市复旦中学校考期末）在以下命题中，正确的命题其中真命题是（）A若，则是钝角B若，则存在唯一的实数，使C对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P、A、B、C四点共面D为空间一个基底，则不能构成空间的另一个基底2（2024上辽宁高二辽宁实验中学校联考期末），为坐标原点，则点的坐标为（）ABCD3（2024上辽宁葫芦岛高二统考期末）已知向量，则（）AB0C2D104（2024上重庆高二统考期末）已知，且则的值为（）ABC0D25（20
17、23下上海宝山高二统考期末）已知，若，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（）A1B2C3D46（2023上全国高三期末）已知正三棱柱的侧面积是底面积的倍，点E为四边形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（）ABCD7（2024上上海宝山高二校考期末）设是空间中给定的2023个不同的点，则使得成立的点的个数为（）A0个B1个C2023个D4046个8（2024上山东滨州高二校考期末）如图所示，在四面体中，点在上，且，为的中点，则（）ABCD9（2024上重庆长寿高二统考期末）已知空间四点，且，则满足条件点的坐标是（ ）ABCD10（2023上全国高二期末）在四面体
18、中，棱两两垂直，且为的重心，则（）ABCD二、多选题11（2023上全国高二期末）已知，则（）ABC若，则D若，则，12（2023上贵州黔东南高二统考期末）已知空间向量，则下列说法正确的是（）ABCD13（2023上全国高二期末）已知空间三点，则下列说法正确的是（）AB在方向上的投影向量为C点到直线的距离为D的面积为14（2023上全国高二期末）已知空间中三点，则（）A与是共线向量B与夹角的余弦值是C平面的一个法向量是D到平面的距离是三、填空题15（2023上上海高二上海市延安中学校考期末）已知向量，则 .16（2017上宁夏石嘴山高二石嘴山市第三中学校考期末）已知，且，则= 17（2024上
19、广西南宁高二统考期末）已知，则在上的投影向量的模为 18（2023上全国高二期末）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： .四、解答题19（2023上全国高二期末）已知空间向量.(1)求；(2)判断与以及与的位置关系.20（2023上全国高二期末）已知向量，为坐标原点，点，.(1)求(2)若点在直线上，且，求点的坐标21（2022上吉林辽源高二校联考期末）已知，求：(1)，；(2)与夹角的余弦值.22（2018上陕西西安高二西安中学校考期末）已知空间三点，设，(1)求；(2)与互相垂直，求实数的值23（2023上内蒙古通辽高二校考期末）已知空间向量，.(1)若，求；(2)若，求的值.24（2022上湖北孝感高二校考期末）已知空间中三点.(1)已知向量与互相垂直，求的值；(2)求以为邻边的平行四边形的面积.
