1、2.7.2二次根式教学目标知识与技能：1.经历二次根式的运算法则的探索过程,了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用.2.会进行二次根式简单的四则运算.过程与方法1.从具体实例出发,通过类比把有理数的运算律推广到实数范围.2.通过例题和练习,熟悉和巩固无理数的运算律.情感态度与价值观：在探究与合作活动中,发展探究能力和合作意识,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.教学重难点【重点】会进行二次根式简单的四则运算.【难点】正确应用二次根式的运算法则进行四则运算.教学准备【教师准备】预想学生构建知识体系遇到的困难.【学生准备】复习二次根式的性质.教学过程一、导入新课导入一:过渡语前面学习了二次根式的
2、性质,我们复习一下.【问题】二次根式的性质是什么?用公式如何表示?【问题解决】积的算数平方根,等于算数平方根的积.商的算数平方根,等于算数平方根的商.ab=ab(a0,b0), ab=ab(a0, b0).设计意图借助复习,在巩固旧知识的同时,导入新课.导入二:装风筝的包装盒是一个底为正方形的长方体盒子,正方形的边长为30 cm,长方体盒子的高为5 cm,长方体盒子在包装时需用彩带沿正方形的对角线进行包装,则所需要彩带的长度最少是多少厘米?【问题】由于长方体盒子要用彩带沿正方形的对角线进行包装,所以彩带的长最少应为4(对角线长+高),而正方形对角线的长可以根据勾股定理求得,即302+302,那
3、么如何计算4(302+302+5)呢?二、 新知构建（1） 活动探究思路一：过渡语将上节课探究的公式ab=ab(a0,b0), ab=ab(a0, b0)等号的左边与右边对换,可以得到二次根式的乘法法则和除法法则:ab=ab(a0,b0),ab= ab(a0,b0).思路二：计算下列各式,你能得到什么猜想?1625=,1625=;925=, 925=.1625=45=20,1625=400=20,所以1625=1625.925=35, 925=35,所以925= 925.我们可以得到二次根式的乘法法则和除法法则:ab=ab(a0,b0),ab= ab(a0,b0).（2）例题讲解(教材例3)计
4、算.(1)6 23;(2)632;(3)25.解析常常要把被开方数的分子与分母同时乘以一个适当的数,使得分母成为一个平方数,然后把分母开出来.解:(1)6 23= 623=4=2.(2)632=632= 632=9=3.(3)25= 25= 2555=105.(教材例4)计算.(1)3223;(2)123-5;(3)(5+1)2;(4)(13+3)(13-3);(5)12-133;(6)8+182.解析二次根式也可以进行加减运算,以前学过的有理数的运算法则、运算律仍然适用.当然,如果运算结果中出现某些项,它们各自化简后的被开方数相同,那么应该将这些项合并.第(3)(4)题要用到乘法公式中的完全
5、平方公式和平方差公式.解:(1)3223=3223=66.(2)123-5=123-5=36-5=6-5=1.(3)(5+1)2=(5)2+25+1=5+25+1=6+25.(4)(13+3)(13-3)=(13)2-32=4.(5)12-133=123- 133=36-1=6-1=5.(6)8+182=82+182=4+9=2+3=5.设计意图从本例开始,正式进行二次根式的加、减、乘、除运算,设计时注意了题目的梯度.本例侧重于乘、除运算,只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用(如交换律、结合律、分配律、乘法公式等)了.教学中,注意体会这些题目之间的层次性,教学中务必循序渐进地开展相关技能训练
6、,让更多的学生感受到成功的喜悦.(教材例5)计算.(1)48+3;(2)5- 15;(3)43+36.解析把二次根式化为最简二次根式,能合并的要合并.解:(1)48+3=163+3=163+3=43+3=53.(2)5- 15=5- 525=5-525=5-55=455.(3)43+36= 436+36=8+18=22+32=52.知识拓展1.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.2.在ab=ab中,a,b必须满足a0,b0,否则a,b就没有意义.3.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式相乘的运算,如xyz=xyz(x0,y0,z0).4.二次根式的除法法则中被开方数的取值范围:由
7、于b为分母,因此被开方数a,b的取值范围分别是a0,b0.5.二次根式的除法法则中的a,b既可以是数,也可以是代数式.6.在运算中应注意约分要彻底.三、课堂总结二次根式的乘法法则和除法法则:ab=ab(a0,b0),ab=ab(a0,b0).二次根式也可以进行加减运算,实数的运算法则、运算律仍然适用.四、课堂练习1.化简.(1)5 25;(2)28;(3)212+48;(4) 29+50-32;(5)320-45- 15;(6)(6-2)2.解:(1)5 25=525=2.(2)28= 28=12.(3)212+48=243+163=243+163=223+43=43+43=83.(4) 29
8、+50-32=29+252-162=23+252-162=23+52-42=432.(5) 320-45- 15=345-95-525=345-95-525=65-35-55=1455.(6)(6-2)2=(6)2-262+(2)2=6-212+2=8-43.2.化简.(1) 73-13;(2) 12+273;(3) 1268;(4)(5+3)(5-3).解:(1) 73-13= 73-33=2033.(2) 12+273= 23+333=5.(3) 1268= 6222=3.(4)(5+3)(5-3)=(5)2-(3)2=5-3=2.五、板书设计2.7.1二次根式二次根式的乘法法则和除法法则
9、:ab=ab(a0,b0),ab= ab(a0,b0).例3例4例5六、布置作业（1）教材作业【必做题】教材第45页随堂练习.【选做题】教材第46页习题2.10第4题.（2）课后作业【基础巩固】1.化简5 45的结果是()A.25B.2C.2D.222.下列计算错误的是()A.23=6B.2+3=6C.123=2D.8=223.化简 2312=;(-15)(-27)=.4.化简.(1) 12 13;(2) (1-6)(1+6).5.计算.(1)333;(2)0.524;(3)4532 23.【能力提升】6.化简(3+2)2019(3-2)2019.【拓展探究】7.x=3+2,y=3-2,求x2
10、+xy+y2x+y-(x+y).【答案与解析】1.B 2.B 3.22954.解:(1) 12 13= 123=4=2.(2)(1-6)(1+6)=12-(6)2=1-6=-5.5.解:(1)333=9.(2)0.524=23.(3)4532 23=3230.6.解:(3+2)2019(3-2)2019=3+23-220143-2=3-2.7.解:x2+xy+y2x+y-(x+y)=x2+xy+y2-(x+y)2x+y=-xyx+y=-(3+2)(3-2)3+2+(3-2)=-123=-36.教学反思本节课推导出二次根式的乘法法则和除法法则,通过不同形式的练习,学生掌握较好,理解了法则,并会应
11、用法则进行计算.本节课的教学设计中未考虑学生的层次不同,对知识的要求也不同.增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.教材习题答案随堂练习(教材第45页)1.解:(1)原式=5920=94=32.(2)原式=2363=26.(3)原式=2+23-3-3=3-1.(4)原式=(23)2-43+1=13-43.(5)原式=81+1=10.(6)原式=9-4=1.(7)原式=33-53=-23.(8)原式=29-29823=-103.2.解:(1)不正确.(2)不正确.(3)不正确.习题2.10(教材第45页)1.提示:(1)1.(2)3.(3)7+210.(4)-1.(5)5-1.(6)-
12、142.(7)2033.(8)5210.2.解:(1)两个有理数相加、相减、相乘、相除,结果一定是有理数.(2)两个无理数相加、相减、相乘、相除,结果不一定是无理数.如(1+2)+(1-2)=2,3-3=0,(5+1)(5-1)=4,66=1,结果都是有理数.3.解:SABC=34-1224-1231-1231=5.4.解:32=622.4492=1.2245.素材同学们,我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=(ab)2,你一定熟练掌握了吧!现在,我们又学习了二次根式,那么所有的非负数都可以看做是一个数的平方,如3=(3)2,5=(5)2.先阅读理解,再回答问题.(2-1)2=(2)2-212+12=2-22+1=3-22,反之,3-22=2-22+1=(2-1)2,所以3-22=(2-1)2,所以3-22=2-1.(1)求 3+22;(2)求 4+23;(3)你会算4-12吗?(4)若a2b=mn,则m,n与a,b的关系是什么?并说明理由.解:(1)3+22=(2+1)2=2+1.(2)4+23=(3+1)2=3+1.(3)4-12=(3-1)2=3-1.(4)由a2b=mn,得a2b=m+n2mn,则a=m+n,b=mn.
