1、昌平区2019年高三年级第二次统一练习数学试卷（理科）第I卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1设集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】，选2下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）ABCD【答案】C【解析】，在单增，不在定义域内单增，且，在上单增，符合题意，选3执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则处应填写（ ）ABCD【答案】C【解析】故，选4在中，已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】，余弦定理：，代入，弦定理：，选5命题：数列的前项和；命题：数列是等差数列则是的（ ）A充分而不必要条
2、件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，当时，不一定等差数列，若，而，不一定为故选6第五届北京农业嘉年华于年月日至月日在昌平区兴寿镇草莓博览园中举办，设置“三馆两园一带一谷一线”八大功能板块现安排六名志愿者去其中的“三馆两园”参加志原者服务工作，若每个“馆”与“园”都至少安排一人，则不同的安排方法种数为（ ）ABCD【答案】A【解析】人中选人一组，“三馆两园”共个位置有序安排，选7设点，点在双曲线上，则使的面积为的点的个数为（ ）ABCD【答案】A【解析】，设到距离为，得，设代入，则由，得，即，设与平行的直线为当直线与双曲线相切解得:，直线和，距离，则此时
3、点有两个，直线和，距离为，则时点也有两个，综上共有个点满足选8四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得分，负者得分，平局双方各得分比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是（ ）ABCD【答案】C【解析】胜得分，平得分，负得分，由此可得共两种情况：分出胜负，总比分加平局，总比分加则最多平局数即为大总比分最小，若不考虑约束，总比分最小为全平：显然不符合四队比分不相同，此时四队比分相同若有局为情况，则至多变化两队比分，另外两队比分相同，不合题，若有局为情况，当队：平平负分，：胜平平分 ：平平平分：胜平负分此时满足题意，故局平局，选第II
4、卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9设，若，则_【答案】【解析】10若实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】当过时，取最小为11已知，若与垂直，则_【答案】【解析】，12在极坐标中，点至直线的距离等于_【答案】【解析】，距离为13在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积为_；该三棱锥的最长棱的棱长为_【答案】；【解析】（）最长为14若函数（且），函数若，函数无零点，则实数的取值范围为_若有最小值，则实数的取值范围是_【答案】；【解析】，无零点，无解，边上有最小值，且能取到，综上三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字
5、说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分13分）已知函数（）求及的最小正周期的值（）求在区间上的最大值和最小值【答案】的最大值为，最小值为【解析】（）因为所以（）因为，所以所以，所以所以所以当，即时，的最小值为；当，即时，的最大值为16（本小题满分13分）从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在米（精确到米）以上（含）的男生为“优秀生”分组（米）频数频率合计（）求参加测试的男生中“优秀生”的人数（）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选名男生的成绩，求至少选出名男生的
6、成绩不低于米的概率（）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取人，记表示人中“优秀生”的人数，求的分布列及数学期望【答案】人，【解析】（）第小组的频率为，所以总人数为（人）所以第、组的学生均为“优秀生”，人数为（人）即“优秀生”的人数为（）根据分层抽样，在各组抽取的人数分别人，人，人，人，人，人其中成绩不低于米的有人设事件为“至少名男生成绩不低于米”，则所以选出的名男生的成绩中至少有名男生的成绩不低于米的概率为（）从该校全体男生中任选一人，这个人是“优秀生”的概率为，由题意知的可能取值为，所求分布列为：所以17（本小题满分14分）在四棱锥中，为正三角形，平面平面，为的中点，（）求证
7、：平面平面（）求直线与平面所成角的正弦值（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】证明见解析【解析】（）法一：因为为正三角形，为的中点，所以，因为平面底面，平面底面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面法二：因为，所以，因为平面底面，平面底面，所以平面因为，所以平面平面（）在平面内作直线所以平面，所以，以为原点建立空间直角坐标系如图所示则，所以，设平面的法向量为所以即令，则，所以设直线与平面所成的角为则所以直线与平面所成角的正弦值为（）在棱上存在点，使得平面因为平面，所以，要使平面成立，只需成立设，所以即所以，所以因为，
8、所以由可得，即，所以即18（本小题满分13分）设函数（）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值（）若，求的单调区间【答案】见解析【解析】（）因为，所以，因为在点处的切线与轴平行，所以，所以，所以（）因为，（）当时，所以，所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为（）当时，令得，且当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，综上所示：当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为：，19（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，四边形的各顶点均在椭圆上，且对角线，均过坐标原点，点，、的斜率之积为（）求椭圆
9、的方程（）过作直线平行于若直线平行于，且与椭圆交于不同的两点，与直线交于点 证明：直线与椭圆有且只有一个公共点证明：存在常数，使得，并求出的值【答案】见解析【解析】（）由题意解得故椭圆的方程为（）（）由题意，因为，得，则直线的方程为，联立得代入化简得因为判别式，即直线与椭圆有且只有一个公共点（）设直线的方程为，联立方程组解得，故点坐标为，联立方程组，代入化简得设点，因为判别式，得又，所以同理，故，因为，解得故存在常数，使得20（本小题满分13分）设集合，对数列，规定：若，则若，则例如：当，时，（）已知等比数列，且当时，求数列的通项公式（）已知数列，证明：对于任意的，且，存在，使（）已知集合，设中最大元素为，中最大元素为，求证：
