1、高中数学2020年11月14日文科周测学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题(共60分)1(本题5分)已知集合，则中元素的个数为（ ）A2B3C4D52欧拉公式(其中i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，当时，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式，若将所表示的复数记为z，则( )ABCD3朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数
2、比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A14B16C18D204(本题5分)如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个C去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长5(本题5分)若非零向量满足,则与的夹角为（ ）A B C D6(本题5分)在等比数列中，且、成等差数列，则公比（ ）AB或CD或7(本题5分)一元线性同余方
3、程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在数书九章中给出了完整系统的解答.此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，下边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法“逐步约束法”.其中，若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为，例如.执行该程序框图，则输出的n为（ ）A20B38C47D538(本题5分)已知圆O：，过点作两条相互垂直的弦和，那么四边形的面积最大值为（ ）A42B24CD69(本题5分)若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD10(本题5分)已知、是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（
4、为坐标原点），则的离心率为（ ）ABCD11已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为()ABCD12某学生对函数的图象与性质进行研究，得出如下结论：函数在上单调递减，在上单调递增；点是函数的图象的一个对称中心；函数的图象关于直线对称；存在常数，使对一切实数均成立.其中正确的结论是（ ）ABCD二、填空题(共20分)13(本题5分)函数的最小值为_14(本题5分)已知实数、满足约束条件,则的最大值为_ 15(本题5分)在中，角的对边分别为, , ,则角的最大值为_；16已知，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是_（结果用区间表示）三、解答题(共80分)17(本
5、题12分)已知正项等比数列的前项和为，且，.（1)求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和.18在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从乙村的50户中随机选出一户，求该户为“绝对贫困
6、户”的概率；（2）从甲村所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中任选2户，求选出的2户均为“低收入户”的概率；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.19如图，在四棱锥中，棱底面，且，是的中点（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积20(本题12分)已知点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为，且PF1F2的最大面积为1（）求椭圆C的方程（）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由21(本题12分)已知函数，()，令.（1）当时，求函数的单调递增区
7、间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.22在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线 (t为参数)上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：（1）求曲线C1，C2的直角坐标下普通方程；（2）已知点Q在曲线C2上，求的最小值以及取得最小值时P点坐标.23（1）已知，求证：；（2）已知，求证：.高中数学2020年11月09日学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题(共60分)1(本题5分)已知集合，则中元素的个数为（ ）A2B3C4D5【答案】A【解析】【分析】先求出，再求交集确定元素个数即可.【详解】解：因为，所以，故选：A.【点睛】考查集合的运
8、算，基础题.2欧拉公式(其中i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，当时，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式，若将所表示的复数记为z，则( )ABCD【答案】C【解析】【分析】根据欧拉公式可得，进而可求出.【详解】依题意，则.故选：C.【点睛】本题考查新定义，考查复数的除法运算，属于基础题.3朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数
9、比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A14B16C18D20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得到结果.【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项.公差为8的等差数列，设1984人全部派遣到位需要n天，则.解得n=16.故选B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.4(本题5分)如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B2017年第一季度GDP总量
10、和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个C去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长【答案】B【解析】【分析】根据2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位，均居同一为的省，即可求解.【详解】由2017年第一季度五省GDP情况图，可得：在A中，2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，所以是正确的；在B中，2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏省和河南省，共2个，所以不正确；在C中，去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元，所以是正确的；在D中，与去年同期相比，2017年第一季
11、度五个省的GDP总量均实现了增长，故是正确的.故选：B.【点睛】本题主要考查了折线图、柱形图的识别与应用，着重考查了数据处理能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.5(本题5分)若非零向量满足,则与的夹角为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由两边平方，得，即，所以，所以，故选D考点：向量夹角公式6(本题5分)在等比数列中，且、成等差数列，则公比（ ）AB或CD或【答案】C【解析】【分析】由题意可知，结合题意可得出关于的方程，即可解得的值.【详解】在等比数列中，则其公比，由题意可得，即，则，即，解得或（舍去）.故选：C.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等差中项的
12、应用，考查计算能力，属于基础题.7(本题5分)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在数书九章中给出了完整系统的解答.此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，下边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法“逐步约束法”.其中，若正整数n除以正整数m的余数为r，则记为，例如.执行该程序框图，则输出的n为（ ）A20B38C47D53【答案】D【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论【详解】程序运行时，变量值变化如下：，不满足；，不满足；，满足，退出第一个循环，不满足，满足
13、，输出故选：D【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，确定变量的值，判断循环条件得出输出结果8(本题5分)已知圆O：，过点作两条相互垂直的弦和，那么四边形的面积最大值为（ ）A42B24CD6【答案】B【解析】【分析】设圆心到，的距离为，则，利用均值不等式得到最值.【详解】，即，圆心为，半径.在圆内，设圆心到，的距离为，则.，当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.9(本题5分)若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】解：由指数函数 单调递减可得： ，选项 错误；由幂函数 单调递增可得： ，选
14、项 错误； ，选项 错误；本题选择D选项.点睛：利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决10(本题5分)已知、是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】作出图形，分析出为直角，利用已知条件求出，进而可求得双曲线一条渐近线的倾斜角，由此可求得，再由公式可求得双曲线的离心率.【详解】如下图所示，由于点是点关于双曲线某条渐近线的对称点，则，所以，为直角三角形，且为直角，且，则，所以，双曲线的渐近线的倾斜角为，因此，双曲线的离心率为.
15、故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及双曲线的渐近线时，利用公式计算较为简洁，考查计算能力，属于中等题.11已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为()ABCD【答案】A【解析】【分析】构造新函数，根据条件可得是奇函数，且单调增，将所求不等式化为，即，解得，即【详解】设，因为为上奇函数，所以，即为上奇函数对求导，得，而当时，有故时，即单调递增，所以在上单调递增不等式，即所以，解得故选A项.【点睛】本题考查构造函数解解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.12某学生对函数的图象与性质进行研究，得出如下结论
16、：函数在上单调递减，在上单调递增；点是函数的图象的一个对称中心；函数的图象关于直线对称；存在常数，使对一切实数均成立.其中正确的结论是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性，单调性，对称性，值域依次判断每个选项得到答案.【详解】易知为偶函数，当时，所以在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，故正确；因为不恒成立，所以点不是函数的图象的对称中心，故错误；因为不恒成立，即不恒成立，所以直线不是函数的图象的对称轴，故错误；因为，所以当时，对一切实数均成立，故正确.综上可知，正确的结论是.故选：.【点睛】本题主要考查函数的图象与性质，考查考生的逻辑推理能力和基本运算能力，考查的核
17、心素养是数学运算和逻辑推理.二、填空题(共20分)13(本题5分)函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，可得关于的二次函数形式，然后使用换元法以及二次函数的性质，可得结果.【详解】由所以即，由令，则，对称轴为所以在递减当，即时，有故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数型的最值问题，掌握二次函数的性质，熟练二倍角公式，诱导公式的应用，属基础题.14(本题5分)已知实数、满足约束条件,则的最大值为_ 【答案】8【解析】画可行域如图，目标函数，可看成是直线的纵截距四倍，直线过点时有最大值.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：
18、准确无误的做出可行域（注意边界的实虚）；画出目标函数所对应的直线时要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取到.15(本题5分)在中，角的对边分别为, , ,则角的最大值为_；【答案】 【解析】【分析】由已知利用角C的余弦定理和均值不等式算得cosC,得【详解】在中，由角C的余弦定理可知，又因为，所以当且仅当时等号成立【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同时结合均值不等式求最值问题，本题的难点在于转化为边的关系16已知，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是_（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】由方程的解与函数图象的交
19、点个数的关系可得有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可设过原点的直线与相切与点，由，则此切线方程为，又此直线过原点，则求得，即切线方程为再结合图象可得实数的取值范围是，得解.【详解】解：由，可得：在的图象关于直线对称，有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，的图象与直线的位置关系如图所示，设过原点的直线与相切与点，由，则此切线方程为：，又此直线过原点，则求得，即切线方程为：，由图可知：当的图象与直线的交点个数为2时，实数的取值范围是，故答案为【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，
20、属难度较大的题型三、解答题(共80分)17(本题12分)已知正项等比数列的前项和为，且，.（1)求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题中所给的条件,结合数列前n项和的特征，以及数列的通项公式，化简得到关于该数列的公比q的等量关系式，利用正项数列，作出取舍，进一步求得数列的首项，从而得到其通项公式；(2)利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以或（舍去）.又，故，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，得，.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，项与和之间的关系，以及错位相减法求和，属于中档题目，
21、熟练掌握基础知识是正确解题的关键.18在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从乙村的50户中随机选出一户，求该户为“绝对贫困户”的概率；（2）从甲村所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中
22、任选2户，求选出的2户均为“低收入户”的概率；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.【答案】（1）；（2）；（3）甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【解析】试题分析：（1）由图知，在乙村户中，指标的有户，根据古典概型概率公式可得结果；（2）利用列举法可得，所有可能的结果组成的基本事件有个，其中两户均为“低收入户”的事件共有个，根据古典概型概率公式可得选出的户均为“低收入户”的概率；(3) 由图可知，这户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.试题解析：（1）由图知，在乙村50户中，指标的有15户， 所以，从乙村50户中随机选出一户，该户为“绝对贫困户”的概率为.（2
23、）甲村“今年不能脱贫的非绝对贫困户”共有6户，其中“相对贫困户”有3户，分别记为，.“低收入户”有3户，分别记为，所有可能的结果组成的基本事件有：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .共15个，其中两户均为“低收入户”的共有3个，所以，所选2户均为“低收入户”的概率.（3）由图可知，这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本
24、事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次. 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19如图，在四棱锥中，棱底面，且，是的中点（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】(1) 见解析(2) 【解析】试题分析：(1)取中点,连接,利用线面垂直的性质，得到，进而得到平面,又根据三角形的性质，证得，即可证明平面；(2)解:由(1)知,是三棱锥的高,再利用三棱锥的体积公式，即可求解几何体的体积.试题解析：(1)证明:取中点,连接,底面,底面, ,且 平面,又平面,所以.又,H为PB的中点, ,又,平面,在中,分别为中点, ,又, ,，四边形是平行四边形,、 平面. (2)解:由(1)知,，
25、,又,且,平面,是三棱锥的高,又可知四边形为矩形,且, ,所以 .另解:是的中点,到平面的距离是到平面的距离的一半，所以.20(本题12分)已知点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为，且PF1F2的最大面积为1（）求椭圆C的方程（）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由【答案】（）；（）定值为【解析】【分析】（）利用P到焦点F2的距离的最大值为，且PF1F2的最大面积为1，结合a2b2+c2，求出a，c，b可得椭圆的方程（）利用直线与椭圆方程，通过韦达定理，结合向量的
26、数量积化简得到定值即可【详解】（I）由题意可知：a+c，2cb1，且a2b2+c2，a22，b21，c21，所求椭圆的方程为：.（II）设直线L的方程为：yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x24kx+2（k21）0则 对于任意的为定值【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式，韦达定理以及向量数量积的综合应用，考查计算能力，属于中档题21(本题12分)已知函数，()，令.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）.（2）2【解析】【分析】（1）先求函数
27、的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）关于的不等式恒成立，即为恒成立，令，求得导数，求得单调区间，讨论的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到的最小值.【详解】（1）当时，()，由，又，所以函数的单调递增区间为.（2）关于的不等式恒成立，即为恒成立，令，当可得恒成立，递增，无最大值，不成立；当时，当，递减，当，递增，则有取得极大值，且为最大值.由恒成立思想可得，即为，显然不成立，时，即有成立.整数的最小值为2.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握等价转化思想，不等式恒成立转化为求函数的最值，利用最值满足不等关系得出结论22在平
28、面直角坐标系xOy中，点P是曲线 (t为参数)上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：（1）求曲线C1，C2的直角坐标下普通方程；（2）已知点Q在曲线C2上，求的最小值以及取得最小值时P点坐标.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）曲线根据消去，得到曲线的直角坐标方程，根据，得到的直角坐标方程；（2）由（1）可知，设，利用点到直线的距离，利用基本不等式求最小值.【详解】解：（1）由：消去参数得到.由：.（2）设，则到直线的距离或此时【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用参数方程解决两点间距离的最小值，属于中档题型.23（1）已知，求证：；（2）已知，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）作差后配方可证；（2）把不等式左边分子上的1用代入变形后相乘，再用基本不等式可证【详解】（1）证明：x2+2y2(2xy+2y1)x2+2y22xy2y+1x22xy+y2+y22y+1(xy)2+(y1)20，当且仅当xy1时，等号成立.（2）证明：左边(1+)(1+)(1+)(1+)(2+)(2+)5+5+29，当且仅当时，等号成立.【点睛】本题考查不等式的证明，考查作差法和基本不等式法证明不等式，考查了学生的逻辑推理能力
