1、第二十七章 反比例函数(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(第16小题,每小题2分,第716小题,每小题3分,共42分)1.下列函数中,y是x的反比例函数的是()A.y=3x2B.y=2x+5C.xy=8D.y=3x+52.已知反比例函数y=kx(k0)的图像经过点(2,3),若点(1,n)在反比例函数的图像上,则n等于()A.6B.3C.2D.1103.当x0时,四个函数:y=-x,y=2x+1,y=-1x,y=2x.其中y随x的增大而增大的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.当x0时,函数y=-5x的图像在()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限5.关于反比例函数y
2、=4x的图像,下列说法正确的是()A.必经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称6.如图(1)所示,正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(-1,2),若y1y20,则x的取值范围在数轴上表示(如图(2)所示)正确的是()7.已知反比例函数y=10x,当1x2时,y的取值范围是()A.0y5B.1y2C.5y108.如图所示,一次函数y1=k1x+b的图像和反比例函数y2=k2x的图像交于A(1,2),B(-2,-1)两点,若y1y2,则x的取值范围是()A.x1B.x-2C.-2x1D.x-2或0xy2时,x的取值范围是()
3、A.x2B.x-2或0x2C.-2x0或0x2D.-2x212.已知反比例函数y=ax(a0)的图像,在每个象限内,y的值随x值的增大而减小,则一次函数y=-ax+a的图像不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限13.如图所示,在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m与y=mx(m0)的图像可能是()14.如图所示,A,B两点在双曲线y=4x上,分别经过A,B两点向轴作垂线段,已知S阴影=1,则S1+S2等于()A.3B.4C.5D.615.如图所示,直线y=x-2与y轴交于点C,与x轴交于点B,与反比例函数y=kx的图像在第一象限交于点A,连接OA,若SAOBSBOC=12
4、,则k的值为()A.2B.3C.4D.616.如图所示,正方形ABCD位于第一象限,边长为3,点A在直线y=x上,点A的横坐标为1,正方形ABCD的边分别平行于x轴,y轴.若双曲线y=kx与正方形ABCD有公共点,则k的取值范围为()A.1k9B.2k34C.1k16D.4k0)交于点A(1,a),则k=.19.如图所示,若正比例函数y1=mx(m0)的图像与反比例函数y2=kx(k0)的图像交于点A(n,4)和点B,AMy轴,垂足为M.若AMB的面积为8,则满足y1y2的实数x的取值范围是.20.如图所示,函数y=1x和y=-3x的图像分别是l1和l2.设点P在l1上,PCx轴,垂足为C,交
5、l2于点A,PDy轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB的面积为.三、解答题(共66分)21.(9分)已知y=y1-y2,y1与x成反比例,y2与x-2成正比例,当x=3时,y=5;x=1时,y=-1.求y与x之间的函数表达式.22.(10分)已知反比例函数y=kx(k为常数,k0)的图像经过点A(2,3).(1)求这个函数的表达式;(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图像上,并说明理由;(3)当-3x0)上,点D在双曲线y=-4x(x0)上,点A和点C分别在x轴,y轴的正半轴上,且点A,B,C,D构成的四边形为正方形.(1)求k的值;(2)求点A的坐标.26.(14分
6、)某厂从2019年起开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表:年度2019201920192019投入技改资金x(万元)2.5344.5产品成本y(万元/件)7.264.54(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式;(2)按照这种变化规律,若2019年已投入技改资金5万元.预计生产成本每件比2019年降低多少万元?如果打算在2019年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需投入技改资金多少万元(结果精确到0.01万元)?【答案与解析】1.C(解析:只有
7、C符合反比例函数的定义.故选C.)2.A(解析:把(2,3)代入y=kx,得k=6,所以该函数表达式为y=6x,当x=1时,n=6.故选A.)3.B(解析:正比例函数y=-x中,y随x的增大而减小;一次函数y=2x+1中y随x的增大而增大;反比例函数y=-1x中k0时,y随x的增大而增大;反比例函数y=2x中k0,x0时,y随x的增大而减小.故选B.)4.A(解析:反比例函数y=-5x中,k=-50,函数的图像位于第四象限.故选A.)5.D(解析:当x=1时,y=4,故A错误;因为k=40,所以双曲线在第一、三象限,故B错误;双曲线的两支关于原点对称,故C错误,D正确.故选D.)6.A(解析:
8、正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(-1,2),根据图像可知当y1y20时,x的取值范围是x-1.故选A.)7.C(解析:反比例函数y=10x中,当x=1时y=10,当x=2时,y=5,当1x2时,y的取值范围是5y10.故选C.)8.D(解析:一次函数图像位于反比例函数图像的下方时y1y2,观察图像,此时x-2或0x0,b0.故选D.)11.D(解析:观察函数图像,直线和双曲线的交点B的横坐标为-2,根据图像可得当正比例函数的函数值大于反比例函数的函数值时x2或-2x0,所以-a0,由函数y=mx的图像可知m0,故本选项正确;B:由函数y=mx+m的图像可知m0,相矛盾,故本选项错误;
9、C:由函数y=mx+m的图像y随x的增大而减小,则m0,相矛盾,故本选项错误;D:由函数y=mx+m的图像y随x的增大而增大,则m0,而该直线与y轴交于负半轴,则m0,相矛盾,故本选项错误.故选A.)14.D(解析:点A,B是双曲线y=4x上的点,分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段,则根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4,S1+S2=4+4-12=6.故选D.)15.B(解析:如图所示,过A作ADy轴,AEx轴,SAOBSBOC=12,SAOCSBOC=32,ADOB=32,令y=0,即x-2=0,得x=2,即AD=3,把AD=3代入y=x-2,得y=1,即AE=1,
10、k=ADAE=31=3.故选B.)16.C(解析:点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,把x=1代入y=x,解得y=1,则A的坐标是(1,1),AB=BC=3,C点的坐标是(4,4),当双曲线y=kx经过点(1,1)时,k=1;当双曲线y=kx经过点(4,4)时,k=16,因而1k16.故选C.)17.-9(解析:y=(m-2)x2m+1是反比例函数,则有2m+1=-1,解得m=-1,因而函数表达式是y=-3x,当函数值为13,即-3x=13时,解得x=-9.故自变量x的值是-9.)18.2(解析:把点A坐标(1,a)代入y=2x,得a=21=2,点A的坐标为(1,2),再把点A(1,2)
11、代入y=kx中,得k=2.故填2.)19.-2x2(解析:正比例函数y1=mx(m0)的图像与反比例函数y2=kx(k0)的图像交于点A(n,4)和点B,B(-n,-4).AMB的面积为8,124n2=8,解得n=2,A(2,4),B(-2,-4).由图形可知,当-2x2时,正比例函数y1=mx(m0)的图像在反比例函数y2=kx(k0)图像的上方,即y1y2.故填-2x2.)20.8(解析:点P在y=1x上,|xp|yp|=|k|=1,设P的坐标是a,1a(a为正数),PAx轴,A的横坐标是a,A在y=-3x上,A的坐标是a,-3a,PBy轴,B的纵坐标是1a,B在y=-3a上,1a=-3x
12、,解得x=-3a,B的坐标是-3a,1a,PA=1a-3a=4a,PB=|a-(-3a)|=4a,PAx轴,PBy轴,x轴y轴,PAPB,PAB的面积=12PAPB=124a4a=8.)21.解:因为y1与x成反比例,y2与x-2成正比例,故可设y1=k1x,y2=k2(x-2),因为y=y1-y2,所以y=k1x-k2(x-2),把当x=3时,y=5;x=1时,y=-1代入,得k13-k2=5,k1+k2=-1,解得k1=3,k2=-4,再代入y=k1x-k2(x-2),得y=3x+4x-8.22.解:(1)反比例函数y=kx(k为常数,k0)的图像经过点A(2,3),把点A的坐标代入表达式
13、,得3=k2,解得k=6.这个函数的表达式为y=6x.(2)反比例函数表达式为y=6x,6=xy.分别把点B,C的坐标代入,得(-1)6=-66,则点B不在该函数图像上;32=6,则点C在该函数图像上.(3)k0,当x0时,y随x的增大而减小.当x=-3时,y=-2,当x=-1时,y=-6,当-3x-1时,-6y-2.23.解:(1)直线y=x+b与双曲线y=kx都经过点A(2,3),3=2+b,3=k2,b=1,k=6,直线的函数表达式为y=x+1,双曲线的函数表达式为y=6x.(2)当y=0时,0=x+1,x=-1,B(-1,0),OB=1.如图所示,作AEx轴于点E,A(2,3),AE=
14、3.SAOB=132=32.24.解:(1)由题意得6m=n,m+5=n,解得m=1,n=6.A(1,6),B(6,1),设反比例函数表达式为y=kx,将A(1,6)代入,得k=6,则反比例函数的表达式为y=6x.(2)存在,如图所示,设E(x,0),则DE=x-1,CE=6-x,ADx轴,BCx轴,ADE=BCE=90,连接AE,BE,则SABE=S四边形ABCD-SADE-SBCE=12(BC+AD)DC-12DEAD-12CEBC=12(1+6)5-12(x-1)6-12(6-x)1=352-52x=5,解得x=5,则E(5,0).25.解:(1)点B(3,3)在双曲线y=kx上,k=3
15、3=9.(2)过D作DMx轴于M,过B作BNx轴于N,B(3,3),BN=ON=3,设MD=a,OM=b,D在双曲线y=-4x(x0)上,-ab=-4,即ab=4,四边形ABCD是正方形,DAB=90,AD=AB,MDA+DAM=90,DAM+BAN=90,ADM=BAN,ADMBAN(AAS),BN=AM=3,MD=AN=a,OA=3-a,即AM=b+3-a=3,a=b,ab=4,a=b=2,OA=3-2=1,即点A的坐标为(1,0).26.解:(1)设其为一次函数,表达式为y=kx+b,当x=2.5时,y=7.2;当x=3时,y=6.则7.2=2.5k+b,6=3k+b,解得k=-2.4,b=13.2.一次函数表达式为y=-2.4x+13.2.把x=4时,y=4.5代入此函数表达式,左边右边.其不是一次函数.设其为反比例函数,表达式为y=kx.当x=2.5时,y=7.2,可得7.2=k2.5,解得k=18,反比例函数是y=18x.验证:当x=3时,y=183=6,符合反比例函数.同理可验证x=4时,y=4.5,x=4.5时,y=4成立.可用反比例函数y=18x表示其变化规律.(2)当x=5时,y=3.6.4-3.6=0.4(万元),生产成本每件比2019年降低0.4万元.当y=3.2时,3.2=18x.x=5.625.5.625-50.63(万元).还需投入约0.63万元.
