1、常用逻辑用语考点要求1常用逻辑用语（1）命题及其关系 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题； 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；（2）简单的逻辑联结词通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”逻辑联结词的含义（3）全称量词与存在量词 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； 能正确地对含有一个量词的命题进展否认第一节 命题与充要条件自主学习1常用逻辑用语（1）命题命题：可以判断真假的语句叫命题；2四种命题的形式原命题：假设那么， 逆命题：假设那么， 否命题： 假设 那么， 逆否命题：假设 那么，3四种命题之间的关系：互 逆原命题:假设那么逆命题:假
2、设那么否命题:假设那么逆否命题:假设那么互 为 为互 否逆逆 否互否互否互 逆注：原命题为真，但其逆命题不一定真；其否命题不一定为真；其逆否命题为真 互为逆否命题的两个命题同真同假否命题即否认条件又否认结论；命题的否认仅否认结论.二、充分必要条件：一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件；是的必要条件可分为四类：1. 充分不必要条件，即成立，而不成立；2. 必要不充分条件，即不成立，而成立；3. 既充分又必要条件，即成立，又有成立；4. 既不充分也不必要条件，即不成立，又有不成立一般地，如果既有，又有，就记作：.“”叫做等价符号这时既是的充分条件，又是的必要条件，称是的充分必要条件，简称充要条
3、件三、反证法的三步骤： 反设：假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾结论：由矛盾判定假设不成立，从而原命题的结论成立教材透析逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题常用小写的拉丁字母，表示命题，故复合命题有三种形式：或；且；非（2）复合命题的真值“非”形式复合命题的真假可以用下表表示： 非真假假真“且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：且真真真真假假假真假假假假“或”形式复合命题的真假可以用下表表示：或真真真真假真假真真假假假注：像上面表示命题真假的表叫真值表；由
4、真值表得：“非”形式复合命题的真假与的真假相反；“且”形式复合命题当与同为真时为真，其他情况为假；“或”形式复合命题当与同为假时为假，其他情况为真；真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容（3）四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否认，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否认，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题两个互为
5、逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.假设判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假（5）全称命题与特称命题这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或局部，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题典例剖析【题型1】 四种命题的关系与真假判断【例1】 判断命题“假设，那么有实根”的逆否命题的真假解法一：写出逆否命题，再进展判断逆否命题是：假设无实根，那么。其真假判断如下： 无实根 0,即0，命题
6、“假设无实根，那么”为真解法二：利用命题间的关系，原命题与逆否命题等价来判断，方程的判别式方程有实根，故原命题“假设，那么有实根”为真又原命题与逆否命题等价，所以其逆否命题为真解法三：利用充要条件与集合的包含关系去分析设命题p：，q：方程有实根， p: ， q：= ，即“假设p那么q”为真，其逆否命题“假设那么”也为真逆否命题“假设无实根，那么”为真或设命题：，：方程有实根那么：，：方程无实根: ，：= ，即，“假设那么”为真故命题“假设，那么有实根”的逆否命题为真【点评】因原命题与其逆否命题有相同的真假性，所以当原命题不易判定或证明时，利用“正难那么反”的原那么，可判断或证明与之等价的逆否命
7、题的真假，从而来间接判断和证明原命题的真假性【变式与拓展】1. 写出命题“假设”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.【解析】逆命题：否命题：逆否命题：易判定否命题假，逆否命题真，从而，逆命题假，原命题真2.（2022广东理）命题“假设函数在其定义域内是减函数，那么”的逆否命题是（ ）A、假设，那么函数在其定义域内不是减函数B、假设，那么函数在其定义域内不是减函数C、假设，那么函数在其定义域内是减函数D、假设，那么函数在其定义域内是减函数【解析】考察逆否命题，易得答案A【题型2】 充要条件的判定 【例2】（2022陕西理）“”是“对任意的正数，”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充
8、要条件 D既不充分也不必要条件【解析】，另一方面对任意正数， 只要，所以选A【点评】“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们间存在着密切的联系此题假设改成命题“如果，那么对任意的正数，都有”，就是原命题正确，而逆命题不正确，那么原命题的条件是结论的充分不必要条件【变式与拓展】3.（2022浙江理）已知是实数，那么“且”是“且”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的.4.（2022天津）设是两条直线，是两个平面，那么的一个充分条件是（ C ）(A) (B) (C) (D) 【题型3】
9、充要条件的证明【例3】 设数列的前n项和，求证：数列成等比数列的充要条件是证明：由得，（1）必要性：假设数列成等比数列，所以；（2）充分性：当时，也适合，即数列成等比数列.综上所述，数列成等比数列的充要条件是【点评】关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，此题采用了第二种方法。另外充要条件的证明，要分清充分性、必要性各要证什么？哪局部是条件，哪局部是结论；对于此题的题型构造来说，“充要条件是”的后面是此题的条件，充分性证明应是有条件推结论。【变式与拓展】5. 求方程至少有一个负实根的充要条件.【解析】当时，原方程变形
10、为一元一次方程，有一个负的实根， 当时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是即设两根，那么有一负实数 ,有两负实数综上所述，方程至少有一个负实根的充要条件为.6. 在中，“”是“”的什么条件？【解析】在中，角A、B的对边分别是是的外接圆的半径一方面，因为，所以a0 B.存在R, 0 C.对任意的R, 0 D.对任意的R, 04.（2022重庆文）命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数”的逆命题是（ ）A“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数” B“假设一个数的平方是正数，那么它是负数” C“假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数”D“假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数”5.已
11、知命题：，那么（ ）A BC D6.给出两个命题：p：|x|x的充要条件是x为正实数；q：奇函数的图像一定关于原点对称，那么假命题是( )A或qB且qCp或qD p且q二、填空题7.有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否认是（3）. 8.用“充分、必要”填空：或为真命题是且为真命题的_必要_条件；非为假命题是或为真命题的充分条件.9.假设命题“存在，使得”是真命题，那么实数的取值范围是 . 10假设用反证法证明命题：“过平面内一点能且只能作一条直线与已知直线垂直”，那么所作
12、的反设是 假设过平面内一点不能作或至少能作两条直线与已知直线垂直 .三、解答题11. 指出以下复合命题的形式及其构成的简单命题.（1）假设是一个三角形的最小内角，那么不大于；（2）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边；（3）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的两条弧；（4）.【解析】（1）是非形式的复合命题，其中：假设是一个三角形的最小内角，那么；（2）且形式的复合命题，其中：等腰三角形顶角的角平分线垂直底边，：等腰三角形顶角的角平分线平分底边； （3）且形式的复合命题，其中：垂直于弦的直径平分这条弦，：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧； （4）或形式的复合命题，其中：，：.12 已知命
13、题：函数的值域为；命题：是上的减函数，假设或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围. 【解析】设， 的值域为， 的值域为 ， 是在R上的减函数， 或为真，且为假， 、一真一假，（1）假设真假，那么的解集.（2）假设假真， 那么，即， 综上所述，实数的取值范围为.单元测验二一、选择题1.（2022天津文）设，那么“”是“”的. （ A ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2. (2022湖南理) “成立”是“成立”的 （ B ）A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.（2022重庆理）命题“假设，那么”的逆否命题是
14、（ D ）A假设，那么或 B.假设，那么C.假设或，那么 D.假设或，那么4.（2022江西理）设：在内单调递增，：，那么是的 ( B ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5.原命题：“设，假设，那么”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（C）个.A. 0 B. 1 C. 2 D. 46.（2022湖北文）已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件. 现有以下命题：是的充要条件；是的充分条件而不是必要条件；是的必要条件而不是充分条件；的必要条件而不是充分条件；是的充分条件而不是必要条件，那么正确命题序号是（ B
15、 ）A. B. C. D. 7.用反证法证明命题“、，可被5整除，那么、中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是 ( B )A. 、都能被5整除 B. 、都不能被5整除C. 不能被5整除 D. 、有一个不能被5整除8.（佛山市2022年高三教学质量检测一）“” 是“函数在区间上为增函数”的（ A ）.A充分条件不必要 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件9. (2022海南、宁夏文、理)已知命题，那么（C ），10. (2022湖北文)假设集合，那么（ A ）A. “”是“”的充分条件但不是必要条件B. “”是“”的必要条件但不是充分条件C. “”是“”的充要条件D. “”既不是
16、“”的充分条件也不是“”的必要条件w二、填空题11命题：“假设不为零，那么、都不为零”的逆否命题是 【答案】 假设、至少有一个为零，那么为零12. 已知命题：，那么:.13.（2022江苏）命题“假设，那么”的否命题为.14.（2022江西、山西、天津文、理）在空间中， 假设四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线 假设两条直线没有共点，那么这两条直线是异面直线 以上两个命题中，逆命题为真命题的是 （把符合要求的命题序号都填上）www三、解答题15. 写出以下命题的否认与否命题，并判断其真假.(1)等腰三角形有两个内角相等(2)可以被5整除的整数，末位是0(3)假设xy=0，那么x=0或y=0
17、【解析】（1）命题的否认：存在一个等腰三角形，没有两个内角相等（ 假）否命题：假设三角形不是等腰三角形，那么它的任意两个内角都不相等（ 真）（2）命题的否认：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0（真）否命题：不能被5整除的整数，其末位不是0（真）（3）命题的否认：假设xy=0，那么x0且y0（假）否命题：假设xy0，那么x0且y0（真）16. ：；：关于x的方程有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.【解析】假设关于x的方程有2个小于1的正根，设为、，那么，有且，根据韦达定理：有；，即有.反之，取方程无实根，所以，综上所述，是的必要不充分条件.17.已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；假设或为真，且为假，求实数的取值范围【解析】由命题可以得到： 由命题可以得到： 或为真，且为假 有且仅有一个为真，当为真，为假时，当为假，为真时，所以，的取值范围为或18. 已知抛物线C：和点，求抛物线C与线段有两个不同交点的充要条件.【解析】必要性：由已知得，线段的方程为由于抛物线C和线段有两个不同的交点，所以方程组 有两个不同的实数解.消元得 设，那么有，充分性：当时，方程有两个不等的实根、，且，方程组有两组不同的实数解.因此，抛物线和线段有两个不同交点的充要条件.
