1、高考资源网（） 您身边的高考专家2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】全集，集合，由补集的定义可得，因此，.故选：A.【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2.设（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则将复数表示成一般形式，然后利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，因此，.故选：C.【点
2、睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知等差数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，求出这两个量，然后利用等差数列的通项公式可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，解答的关键就是建立有关首项和公差的方程组，考查计算能力，属于基础题.4.已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图象可知，函数为上的奇函数，且在上先增后减，然后逐项分析各选项中
3、函数的定义域、奇偶性及其在区间上的单调性，结合排除法可得出正确选项.【详解】由图象可知，函数为上的奇函数，且在上先增后减.对于A选项，函数的定义域为，该函数为奇函数，当时，.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减，合乎题意；对于B选项，函数的定义域为，不合乎题意；对于C选项，函数的定义域为，该函数不是奇函数，不合乎题意；对于D选项，函数的定义域为，当时，该函数在区间上单调递增，不合乎题意.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有
4、名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾评分嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】计算出、，进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知，由频率分布直方图可知，则，由于场外有数万名观众，所以，.故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.
5、6.已知角的终边在直线上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系得出，然后利用两角和的正切公式可得出结果.【详解】由题意可知，直线的斜率为，由两角和的正切公式得.故选：C.【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.7.四棱锥的底面是正方形，且各条棱长均相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出图形，设四棱锥的各条棱的棱长为，计算出各边边长，利用余弦定理求出，即为所求.【详解】如下图所示，设四棱锥的各条棱的棱长为，连接、交于点，则为的中点，且平面，连接，取的中点
6、，连接，四边形正方形，则，所以，异面直线与所成角为或其补角，为的中点，、分别为、的中点，且，平面，平面，平面，由勾股定理得，是边长为的等边三角形，为的中点，由余弦定理得.故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.8.若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为，可得，在等式两边平方得，化简得.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运
7、算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.9.已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，由题意可知，直线与直线垂直，因此，双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.10.已知，则（ ）A. B. C
8、. D. 【答案】D【解析】【分析】比较、的大小关系，结合指数函数的单调性可得出、的大小关系.【详解】由于指数函数为上的减函数，因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数幂的大小比较，涉及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，可得，抛物线的准线与轴交于，的面积为
9、，解得，则抛物线的方程为，所以，.故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12.在四面体中，则四面体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. sD. 【答案】D【解析】【分析】作出图形，根据题中数据证明出平面平面，并找出球心的位置，列等式求出外接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果.【详解】如下图所示：取的中点，连接、，设和的外心分别为点、，分别过点、作平面和平面的垂线交于点，则点为外接球球心，由题意可知，和都是边长为的等边三角形，为的中点，且，平面，平面，平面平面，易得，平面，平面，同理可得，则四边形为菱形，菱形为正方形，平
10、面，平面，所以外接球的半径为，因此，四面体的外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查外接球表面积的计算，找出球心位置，并计算出外接球的半径是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若、满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题
11、，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14.已知函数为奇函数，则_.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的定义得出，结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数，则，即，整理得，解得.当时，真数，不合乎题意；当时，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.15.如图是一个不规则的几何图形，为了求它的面积，在图形中画了一个边长为的正方形，现向图形中随机投掷石子，并记录如下：投掷频次次次次石子落在正方
12、形内（含边上）的次数石子落在阴影内的次数请估计该不规则的几何图形的面积约为_（保留整数）.【答案】【解析】【分析】计算出几次试验中石子落在正方形区域的频率，利用频率与概率的关系得出石子落在正方形区域的概率，利用几何概型的概率公式可求得该不规则的几何图形的面积.【详解】三次试验中，石子落在正方形区域的频率分别为，利用频率接近概率思想可知，石子落在正方形区域的概率为，设不规则几何图形的面积为，由几何概型的概率公式可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查随机模拟思想求解不规则图形的面积，涉及几何概型概率公式的应用，考查计算能力，属于基础题.16.如图，在中，点在线段上，且，则的面积为_.【答案】【解
13、析】【分析】在和利用正弦定理建立等式，结合条件可求得的值，在中分别利用正弦定理和余弦定理求解、，进而可求得的面积.【详解】在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，又，联立得， 在中，由正弦定理得，可得，由余弦定理得，即，解得，因此，的面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17.某工厂为生产一种标准长度为的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该
14、精密器件的实际长度为，“长度误差”为，只要“长度误差”不超过就认为合格已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产，每天每批次各生产件已知每件产品的成本为元，每件合格品的利润为元在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值.【答案】（1）昼、夜批次合格品概率估计值分别为、；（2）元.【解析】【分析】（1）分别计算出昼、夜批次个样本中合格品的个数，据此可求得这两个批次中合格品的概率；（2）分别计算出昼、夜批次件产品的利润，相加即可得出结果.【详
15、解】（1）由样本数据可知，在昼批次的个样本中有个不合格品，有个合格品，合格品的比率为，因此昼批次合格品概率估计值为.在夜批次的个样本中有个不合格品，有个合格品，合格品的比率为，因此夜批次合格品概率估计值为；（2）昼批次合格品的概率为，不合格品的概率为，所以件产品中合格品的均值为件，不合格品的均值为件，所以利润为（元）；夜批次合格品的概率为，不合格品的概率为，所以件产品中合格品的均值为件，不合格品的均值为件，所以利润为（元）故这台车床一天的总利润的平均值为（元）.【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查概率与平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.18.已知为数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；
16、（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令可求得的值，再令，由得出，两式相减可得出数列为等比数列，确定该数列的公比，可求得数列的通项公式；（2）求得，利用错位相减法可求得.【详解】（1）当时，所以；当时，由，可得，上述两个等式相减得，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，；（2）由（1）可知，故，.，得，化简得【点睛】本题考查利用与之间的关系求通项，同时也考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.19.如图，在四棱柱中，底面是边长为的菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若，是等边三角形，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1
17、）连接交于点，可知点为的中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，利用菱形的性质可得出，可得出平面，结合面面垂直的判定定理可得出结论；（2）计算出，并推导出平面，平面，进而可得出到平面的距离与点到平面的距离相等，即为.【详解】（1）如图，设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，故，为的中点.又，故又平面，平面，且，故平面.又平面，所以平面平面；（2）底面是边长为的菱形，又，所以，.又是等边三角形，可得，由（1）可知，平面，平面，则，所以设交于点，又，所以平行四边形为菱形，故又，所以平面平面，所以.，所以平面，故为在平面内的射影，故点到平面的距离为又，平面，所以平面故点到平面的距离与点到平面的距离
18、相等，所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得出关于、的方程组，解出、的值，进而可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式，并代入韦达定理，消去，可得出点的横坐标，进而可得出结论.【详解】（1）由题意得，解得，.所以椭圆的方程是；（2）
19、设直线的方程为，、，由，得.，则有，由，得，由，可得，综上，点在定直线上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21.设函数，是函数的导数.（1）证明：在区间上没有零点；（2）证明：在上，.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用不等式的基本性质可证得对任意的恒成立，进而可得出结论；（2）由以及，只需证对任意的恒成立，通过构造函数，利用导数分析该函数在区间上的单调性，结合单调性可证明出结论成立.【详解】（1），当时，因此，函数区间上没有零点；（2），由，所以恒成立，故只需证明即可设，故函数在区间上单调递增，所以
20、所以当时，即.【点睛】本题考查利用导数证明函数不等式以及研究函数的零点问题，利用导数分析函数的单调性是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）把曲线向下平移个单位，然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线（纵坐标不变），设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）在直线的参数方程
21、中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，进而可化简得出曲线的直角坐标方程；（2）根据变换得出的普通方程为，可设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.【详解】（1）由（为参数），得，化简得，故直线的普通方程为.由，得，又，.所以的直角坐标方程为；（2）由（1）得曲线的直角坐标方程为，向下平移个单位得到，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到曲线的方程为，所以曲线的参数方程为（为参数）.故点到直线的距离为，当时，最小为.【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计
22、算能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23.已知，函数的最小值为.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）见解析；（2）最大值为.【解析】【分析】（1）将函数表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立；（2）由可得出，并将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可得出实数的最大值.【详解】（1）.当时，函数单调递减，则；当时，函数单调递增，则；当时，函数单调递增，则.综上所述，所以；（2）因为恒成立，且，所以恒成立，即.因为，当且仅当时等号成立，所以，实数的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.- 22 - 版权所有高考资源网
