1、20202021学年度第二学期期中调研测试高二数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保管好。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知虚数（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a的值为 A B C D 2对于函数，若，则实数的值为A B C D3已知（i是虚数单位），那么复数在复平面内
2、对应的点所在的象限为A四 B三 C二 D一42020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则 A BC D5函数的极大值为 A18B21C26D286若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是ABCD7若复数满足，则使取到最小值的复数为A B C D8已知函数则使不等式成立的实数的范围为A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
3、题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9下列给出的四个命题中，是假命题的为 A任意两个复数都不能比较大小B对任意，C若，且，则D若，则10设是函数的导函数，则以下求导运算中，正确的有A若，则B若，则 C若，则D若，则 11已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是A函数在处取得极小值B是函数的极值点C在区间上单调递减D的图象在处的切线斜率小于零12设为复数，下列命题中正确的是A若，则B若，则是纯虚数C若，则D若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13计算： 14已知函数且，若，则和的值分别为 ， （第一空2分，第二空3分）15函数的单调递减区间
4、为 16如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，是以为圆心，半径为的圆弧型小路该市拟修建一条从通往海岸的观光专线（新建道路，对道路进行翻新），其中为上异于的一点，与平行，设，新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的倍要使观光专线的修建总成本最低，则的值为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知复数i是虚数单位）（1）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围；（2）若为纯虚数，求的模18（12分）已知函数（1）若，求函数的极值；（2）求函数的单调区间19（12分）已知为虚数，且满足，（i是虚数单位）（1）若是纯虚数，求；（2
5、）求的最大值20（12分）如图一边长为（为大于0的常数）的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品所得作品的体积是关于截去的小正方形的边长的函数（1）写出体积关于的函数表达式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？21（12分）在平面直角坐标系中，过作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作函数的图象的切线，与轴交于，再过作轴的垂线，与函数的图象交于点，再过点作函数的图象的切线，与轴交于，如此进行下去，在轴上得到一个点列，记的横坐标构成的数列为（1）求；（2）求数列的通项公式22（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为（1）求实数的值
6、；（2）若对任意，都有恒成立，求的取值范围20202021学年度第二学期期中调研测试高二数学试题参考答案与评分标准1 8 ABDB DAAC 9ACD 10AC 11BCD 12BC13 14 15 1617解：（1）因为对应的点在第四象限，所以，解得，所以的取值范围为 4分（2）因为为纯虚数，所以，解得， 7分所以，所以的模为 10分18解：（1）当时，由得， 3分列表如下：10极大值所以当是有极大值，无极小值； 6分（2），当时，所以，的单调递增区间为， 9分当时， 所以，的单调递增区间为，单调递减区间为 12分19解：（1）设z1a+bi（a，bR且b0），由|z1|5，得a2+b225
7、，2分由z1z2（a+bi）（3+4i）（3a4b）+（4a+3b）i是纯虚数，得3a4b0，且4a+3b0， 4分联立解得a4，b3或a4，b3z14+3i或z143i； 6分（2）因为，所以对应的点在以原点为圆心，5为半径的圆上，8分表示点到点的距离，所以当，即时，有最大值12分注：未交代取等条件的扣1分20解：（1）由题意可得，； 4分注：未注明定义域的扣1分（2），令得，或（舍去）， 8分列表如下：0单调递增极大值单调递减时，取到极大值也是最大值答：截去的小正方形的边长为时，作品的体积最大12分21解：（1）因为， 2分因为，所以过的切线方程为，即，令得点的横坐标为，所以， 因为，所以
8、； 6分（2）由（1）知，猜想：， 8分下面用数学归纳法证明：当时，结论成立， 9分假设当（）时结论成立，即，则当时，所以时结论成立所以对任意，都有，所以，数列的通项公式为 12分注：（1）第1问用特殊值求出，同样给分；（2）第2问用递推公式得出数列的通项公式的同样给分！22解：（1）因为，所以， 2分所以，因为曲线在处的切线方程为，所以，解得，所以； 6分（2）因为对任意，都有恒成立，所以恒成立，即，由（1）可得，设，则，因为函数为增函数，且，根据零点存在性定理，在内存在唯一的使得，且时，单调递减，时，单调递增，而，则在恒成立，函数在上单调减； 8分当时，所以，函数在上单调递增，10分所以，函数在处取得极小值，也是最小值，所以，即，所以的取值范围 12分
