1、33.2简单的线性规划问题(一)课时目标1了解线性规划的意义2会求一些简单的线性规划问题线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式或方程线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1若实数x，y满足不等式组则xy的最大值为()A9 B. C1 D.答案A解析画出可行域如图：当直线yxz过点A时，z最大由
2、得A(4,5)，zmax459.2已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2y2的最大值为()A. B8 C16 D10答案D解析画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A(1,1)，|OA|，B(2,2)，|OB|2，C(1,3)，|OC|.(x2y2)max|OC|2()210.3在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M，区域N(x，y)|txt1,0t1，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为()At2t B2t22tC1t2 D.(t2)2答案A解析作出不等式组所表示的平面区域由txt1,0t1，得f(t)SOEFSAODSBFC1t2(1t)2t2t.4设变量x
3、，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为()A3，11 B3，11C11，3 D11,3答案A解析作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z3x4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值易求A(3,5)，B(5,3)z最大35433，z最小334511.5设不等式组，所表示的平面区域是1，平面区域2与1关于直线3x4y90对称对于1中的任意点A与2中的任意点B，则|AB|的最小值为()A. B4 C. D2答案B解析如图所示由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x4y90距离最小值的2倍来求经分析，D
4、(1,1)到直线3x4y90的距离d2最小，|AB|min4.二、填空题6设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x3y的最小值为_答案7解析作出可行域如图所示由图可知，z2x3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.7已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)答案(3,8)解析由得平面区域如图阴影部分所示由得由得2331z2x3y213(2)，即3z8，故z2x3y的取值范围是(3,8)8已知实数x，y满足则的最大值为_答案2解析画出不等式组对应的平面区域，表示平面区域上的点P(x，y)与原点的连线的斜率A(1,2)，B(3,0)，02.三、解答题9线性约
5、束条件下，求z2xy的最大值和最小值解如图作出线性约束条件下的可行域，包含边界：其中三条直线中x3y12与3xy12交于点A(3,3)，xy10与x3y12交于点B(9,1)，xy10与3xy12交于点C(1,9)，作一组与直线2xy0平行的直线l：2xyz，即y2xz，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为z，当l经过点B时，z取最小值，此时z最大，即zmax29117；当l经过点C时，z取最大值，此时z最小，即zmin2197.zmax17，zmin7.10已知，求x2y2的最小值和最大值解作出不等式组的可行域如图所示，由，得A(1,3)，由，得B(3,4)，由，得C(2,1)，设zx
6、2y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OCAC，原点到点C的距离最小故zmax|OB|225，zmin|OC|25.能力提升11已知实数x，y满足，求x2y22的取值范围解作出可行域如图，由x2y2(x0)2(y0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线xy60的距离的平方，即|OP|2，最大值为|OA|2，其中A(4,10)，|OP|3，|OA|，(x2y22)min(3)2218216，(x2y22)max()221162114，16x2y22114.即x2y22的取值范围为16x2y22114.12已知实数x、y满足，试求z的最大值和最小值解由于z，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率，因此的最值就是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmaxkMB3，此时x0，y2；zminkMC，此时x1，y0.z的最大值为3，最小值为.1作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解2在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题
