1、第 5 讲两角和与差及二倍角的三角函数公式1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系1两角和与差的三角函数C：cos()_；C：cos()coscossinsin；S：sin()sincoscossin；S：sin()sincoscossin；T：tan()_；T：tan()tantan1tantan.coscossinsintantan1tantan2二倍角的三角函数S2：sin2_；C2：cos2cos2sin22cos21_；T2：
2、tan2 2tan1tan2.3降次公式cos21cos22；sin21cos22.2sincos12sin24辅助角公式 asinxbcosx a2b2sin(x)其中cosaa2b2，sinba2b2，tanba，角称为辅助角1下列各式的值为14的是()A2cos2 121 B12sin275C.2tan22.51tan222.5Dsin15cos15D 2(2015年广东广州一模)已知tan2，则tan2的值为_.435已知为第二象限角，sin，则 tan2_.3(2014 年上海)函数 y 1 2cos2(2x)的最小正周期是_4已知角的终边过点(3，4)，则 cos2_.725352
3、472解析：y12cos2(2x)cos4x，T24 2.考点 1 给角求值问题例 1：化简求值：(1)tan15；(2)tan42tan181tan42tan18；(3)1tan151tan15；(4)tan20tan40 3tan20tan40.解：(1)体会正用公式：tan15tan(6045)tan60tan451tan60tan45 311 32 3.(2)体会逆用公式:tan42tan181tan42tan18 tan(4218)tan60 3.(3)创造条件逆用公式：1tan45，1tan151tan15 tan45tan151tan45tan15=tan(4515)tan60【
4、规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已 知角表示：已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差；已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”的关系(4)公式的变形运用：考虑tan(2040)的展开式，由tan(2040)tan20tan401tan20tan40，得3 3 tan20tan40tan20tan40.移项，得tan20tan40 3tan20tan40 3.【互动探究】1计算：cos10 3sin101cos80_.2解析：cos10 3sin101cos802cos10602sin240 2cos502sin40 2.考点2 给值求值问题例 2：
5、已知 f(x)3sin2xcos2x.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若 f 65，0，4，求 cos2 的值解：(1)f(x)3sin2xcos2x2sin2x6，f(x)单调递增，2k22x62k2.k6xk3，kZ.函数 f(x)的单调递增区间为k6，k3，kZ.(2)若 f 65，则 sin26 35.由 0，4，得 266，3.从而 cos26 1sin226 45.cos2cos26 6 cos26 cos6sin26 sin645 32 35124 3310.【规律方法】本题已知 sin 26，求cos2，可将26 当作一个整体，利用cos2cos266求解；如果利用
6、解方程组223sin2 coscos2 sin,665sin 2cos 21求cos2，计算量很大，这种方法需要仔细体会.【互动探究】2(2013年广东广州二模)已知为锐角，且cos4 35，则sin_.210解析：为锐角，cos 4 35，sin 4 45，sinsin44 sin4 cos4cos4 sin44535 22 210.考点 3 给值求角问题例3：已知A，B均为钝角，且sinA 55，sinB 1010，求AB的值解：A，B均为钝角，且sinA 55，sinB 1010，cosA 1sin2A 252 55，cosB 1sin2B 3103 1010.cos(AB)cosAco
7、sBsinAsinB2 553 1010 55 1010 22.又2A，2B，AB0，0)的最大值为2，最小正周期为8.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)图象上的两点P，Q的横坐标依次为2,4，O为坐标原点，求cosPOQ的值解：(1)f(x)的最大值为 2，且 A0，A2.f(x)的最小正周期为 8，T28，即 4.f(x)2sin4x4.(2)方法一：f(2)2sin24 2cos4 2，f(4)2sin4 2sin4 2，P(2，2)，Q(4，2)|OP|6，|PQ|2 3，|OQ|3 2.cosPOQ|OP|2|OQ|2|PQ|22|OP|OQ|623 222 322
8、63 2 33.方法二：f(2)2sin24 2cos4 2，f(4)2sin4 2sin4 2，P(2，2)，Q(4，2)OP(2，2)，OQ(4，2)cosPOQcosOP，OQ OP OQ|OP|OQ|663 2 33.方法三：f(2)2sin24 2cos4 2，f(4)2sin4 2sin4 2，P(2，2)，Q(4，2)如图 3-5-1，作 PP1x 轴，QQ1x 轴,垂足分别为 P1，Q1，图351则|OP|6，|OP1|2，|PP1|2，|OQ|3 2，|OQ1|4，|QQ1|2.设POP1，QOQ1，则 sin 33，cos 63，sin13，cos2 23.cosPOQcos()coscossinsin 33.
