1、空间向量及其运算_1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合ab共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab
2、(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa
3、，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求如本例用，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量(2.首尾相接的若干个向
4、量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和3.数量积的应用：(1) 求夹角，设向量a，b所成的角为，则cos，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题类型一空间向量的线性运算例：如图3-1-6,已知平行六面体.求证:【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】平行六面体的六个
5、面均为平行四边形,又练习：如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设1a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,【答案】(1)=a+c+；(2)=-a+b+练习2： 设向量，不平行，向量与平行，则实数_【答案】类型二共线定理、共面定理的应用例2：射线AB、AC、AD不共面,连结BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图3-1-20,试判断四边形EFGH的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH是平行四边形.E点不在上,EHFG,且EH=FG,四边形EFGH是平行四边形.解法2:又H点不在上,
6、HGEF,且HG=EF. 四边形EFGH是平行四边形.练习1： 已知向量a=，b=,若ma+nb=(),则的值为_.【解析】由题意得：【答案】类型三空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值【解析】（1）设=p,=q，=r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.=-=（+）-=（q+r-p），=（q+r-p）p=（qp+rp-p2）=（a2cos60+a2cos60-a2）=0.MNAB,同理可证MNCD
7、.（2）由（1）可知=（q+r-p）|2=2=（q+r-p）2=q2+r2+p2+2（qr-pq-rp）=a2+a2+a2+2（-）=2a2=.|=a,MN的长为a.(3)解设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr)(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos60a2cos60a2cos60).又|a，|cosaacos.cos.向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.【答案】（1）见解析（2）MN的长为a.（3）异面直线AN与CM所成角的余弦值为练习1：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.求1与夹角的余弦值【
8、答案】设=a,=b.=cbca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.1 已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1，1，0)B(1，1，0)C(0，1，1)D(1，0，1)【答案】B2在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0B1C2D3【答案】A3.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，
9、1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直B平行C异面D相交但不垂直【答案】B4.O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点()A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断【答案】B_基础巩固（1）1已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，则实数的值为()A2B C.D2【答案】D2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2B.a2C.a2D.a2【答案】C3若向量c垂直于不共线的向量a和b，dab(，R，且0)，则()AcdBcdCc不平行于d，c也不垂直于dD以上三种情况均
10、有可能【答案】B4已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A(4，0，3)B(3，1，3)C(1，2，3)D(2，1，3)【答案】B5.已知2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_【答案】606.已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a，b，c三个向量共面，则实数等于_【答案】能力提升（2）7.在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)【答案】 8.A，
11、B，C，D是空间不共面四点，且0，0，0，则BCD的形状是_三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)【答案】锐角 9.已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值【答案】解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2)(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
