1、专题7 解析几何第35练 圆锥曲线中的探索性问题题型分析 高考展望 本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大.体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考(1)求椭圆C的方程；1.(2016山东)平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率是 32，抛物线 E：x22y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.解 由题意知a2b2a 32，可得 a24b2，因为抛物线 E 的焦点 F0，12，所以 b12，a1，解析答案 所以椭圆C的方程为x24y21.12解析答
2、案(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证：点M在定直线上；12解析答案 直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.12解析答案 2.(2016四川)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 l：yx3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；12(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B
3、，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值.返回 解析答案 12 高考必会题型 题型一 定值、定点问题 例 1 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，直线 l经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点.(1)求椭圆C的方程；解析答案 解 依题意得 b 3，eca12，a2b2c2，椭圆 C 的方程为x24y231.a2，c1，解析答案 点评(2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且MA AF，MB BF，当直线 l 的倾斜角变化时，探求 的值是否为定值？若是，求出 的值；否则，请说明理由.变式训练1 已知抛物线y22p
4、x(p0)，过点M(5，2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为1时，点M恰为AB的中点.(1)求抛物线的方程；解析答案 y1y22p2，p2，解 当直线l的斜率为1时，直线l的方程为xy30，即x3y，代入y22px(p0)得y22py6p0，所以抛物线的方程为y24x.解析答案(2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.题型二 定直线问题 例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于A，B两点.(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；解析答案(
5、2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.解析答案 点评(1)求椭圆C的方程；解析答案 变式训练 2 椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，F1、F2 分别是它的左、右焦点，已知椭圆 C 过点(0，1)，且离心率 e2 23.解 由题意可得 b1，ca2 23，a3，椭圆 C 的方程为x29y21.解析答案(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为 A、B，直线 l 的方程为 x4，P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点，直线 PA、PB 分别交直线 l 于 D、E 两点，求F1D F2E 的值；解析答案(3)过点
6、 Q(1，0)任意作直线 m(与 x 轴不垂直)与椭圆 C 交于 M、N 两点，与 l 交于 R 点，RM xMQ，RNyNQ，求证：4x4y50.题型三 存在性问题 例3(1)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_.解析答案 由yx2，x2ya2a，得 y2(12a)ya2a0.1，)解析 以AB为直径的圆的方程为x2(ya)2a，由已知a0，a10，解得 a1.即(ya)y(a1)0，解析答案 求点M的轨迹方程；(2)如图，梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上，原点 O 为 AB 的中点，|AB|4 23，|CD|24 23
7、，ACBD，M 为 CD 的中点.解析答案 过 M 作 AB 的垂线，垂足为 N，若存在正常数 0，使MP 0PN，且 P点到 A，B 的距离和为定值，求点 P 的轨迹 E 的方程；解析答案 点评 过(0，12)的直线与轨迹 E 交于 P、Q 两点，求OPQ 面积的最大值.解析答案 变式训练 3(2015四川)如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率是 22，点 P(0，1)在短轴 CD 上，且PCPD 1.(1)求椭圆E的方程；返回 解析答案(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点.是否存在常数，使得OA OB PAPB为定值？若存在，求 的值；若不存
8、在，请说明理由.(1)求椭圆E的方程；高考题型精练 解 由题设知ca 22，b1，结合 a2b2c2，解得 a 2，所以椭圆 E 的方程为x22y21.解析答案 12341.(2015陕西)如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)经过点 A(0，1)，且离心率为 22.(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析答案 12342.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(1，0)，且点 P(1，32)在椭圆 C 上，O 为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程；解析答案 1234解 由题意得c1，所
9、以a2b21，又因为点 P(1，32)在椭圆 C 上，所以 1a2 94b21，可解得 a24，b23，所以椭圆 C 的标准方程为x24y231.解析答案 1234(2)设过定点T(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；解析答案 1234(3)过椭圆 C1：x2a2 y2b2531 上异于其顶点的任一点 P，作圆 O：x2y243的两条切线，切点分别为 M，N(M，N 不在坐标轴上)，若直线 MN 在 x轴，y 轴上的截距分别为 m，n，证明：13m2 1n2为定值.(1)求椭圆C的方程；3.(2016山东)已知椭圆 C：x2a2y2b21(
10、ab0)的长轴长为 4，焦距为 2 2.由题意知 2a4，2c2 2.解析答案 1234解 设椭圆的半焦距为c.所以 a2，ba2c2 2.所以椭圆 C 的方程为x24y221.(2)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.解析答案 设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k，证明kk 为定值；证明 设P(x0，y0)(x00，y00).由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，2m).所以直线 PM 的斜率 k2mmx0mx0.直线 QM 的斜率 k2mmx03mx0.此时kk 3.所以kk 为定值3.1234求直线AB的斜率的最小值.解析答案 1234(1)求椭圆C的方程；4.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(1，0)，短轴的一个端点 B到 F 的距离等于焦距.解析答案 所以椭圆 C 的方程为x24y231.1234解 由已知得c1，a2c2，b2a2c23，(2)过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得BFM与BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.返回 解析答案 1234本课结束 更多精彩内容请登录：
