1、湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2021 届高三下学期数学 5 月联考试卷一、单选题（共 8 题；共 40 分）1.已知全集 ，集合 ，则 （）A.B.C.D.2.已知 为实数，复数 （为虚数单位），复数 的共轭复数为 ，若 ，则 （）A.B.C.D.3.在等比数列 中，则 （）A.80B.100C.120D.1404.甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A.60B.65C.70D.755.关于直线 ，有下列四个命题：甲：直线 l 经过点(0，-1)；乙：直线 l 经过点(1，0)；丙：直线 l
2、 经过点(-1，1)；丁：.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁6.已知 的外心为 ，则 的值是（）A.B.C.D.67.如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，以 为直径的圆与双曲线 的渐近线在第一象限的交点为 ，线段 与另一条渐近线交于点 ，且 的面积是 面积的 倍，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.8.已知实数 ，满足 ，则 （）A.3B.4C.D.二、多选题（共 4 题；共 20 分）9.已知 ，均为正数，且 ，则（）A.B.C.D.10.如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中正确的是（）A.三棱锥 的体积是 B.平面 C.平面
3、 与平面 所成的二面角为 D.异面直线 与 所成角的范围是 11.已知函数 的图象上，对称中心与对称轴 的最小距离为 ，则下列结论正确的是（）A.B.当 时，C.若 ，则 D.若 ，则 的值为 12.函数 ，若 时，有 ，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.，则 最大三、填空题（共 4 题；共 20 分）13.在 的二项展开式中，的系数是_14.请写出满足条件“对任意的 恒成立，且 在 上不是增函数”的一个函数：_15.已知抛物线 ，直线 过抛物线 的焦点与抛物线交于 ，两点，以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的公共点是 ，则直线 的斜率 _16.无人侦察机在现代
4、战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-8”无侦-8（如图 1 所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了 2 台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过 3 马赫，比大多数防空导弹都要快如图 2 所示，已知空间中同时出现了 ，四个目标（目标和无人机的大小忽略不计），其中 ，且目标 ，所在平面与目标 ，所在平面满足二面角 的大小是 ，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为_ 四、解答题（共 6 题；共 70 分）17.设 ，分别是 中角 ，的对边，（1）求 ；（2）若 ，求 面积 的最大值18.已知数列 的前 项和 满足 ，.（1）求数列 的通项公式；
5、（2）设 ，数列 的前 项积为 ，若对任意的 ，恒成立，求实数 的最大值.19.已知 中，为 ，上的动点，且 ，将三角形 沿 折起至如图所示，使平面 平面 （1）证明：平面 平面 ；（2）求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值的取值范围20.随着我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体 APP，几乎是全民参与某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各行各业办公室，对市民进行调研，发现约有 的人发过抖音小视频为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取 3 人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等（1）记 表示发过抖音视频的人数，求
6、的分布列；（2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过 次，（其中 小于当次调查的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为 ，求 的数学期望21.已知抛物线 的焦点为点 ，为 上一点，若点 到原点的距离与点 到点 的距离都是 （1）求 的标准方程；（2）动点 在抛物线 上，且在直线 的右侧，过点 作椭圆 的两条切线分别交直线 于 ，两点当 时，求点 的坐标22.已知函数 f（x）2c
7、os2x+ax2（1）当 a1 时，求 f（x）的导函数 在 ，上的零点个数；（2）若关于 x 的不等式 2cos（2sinx）+a2x2af（x）在（，+）上恒成立，求实数 a 的取值范围答案解析部分一、单选题（共 8 题；共 40 分）1.已知全集 ，集合 ，则 （）A.B.C.D.【答案】B 【考点】交、并、补集的混合运算，一元二次不等式的解法，指、对数不等式的解法【解析】【解答】由题意，集合 ，因为 ，所以 ，所以 .故答案为：B.【分析】首先由一元二次不等式的解法以及对数不等式求解出 x 的取值范围，再由补集和交集的定义即可得出答案。2.已知 为实数，复数 （为虚数单位），复数 的共
8、轭复数为 ，若 ，则 （）A.B.C.D.【答案】B 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】，解得 ，.故答案为：B.【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数的概念即可得出 a 的值，然后由共轭复数的定义即可得出结果。3.在等比数列 中，则 （）A.80B.100C.120D.140【答案】A 【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，则 ，.故答案为：A.【分析】根据题意由等比数列的通项公式代入整理计算出结果即可。4.甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为
9、（）A.60B.65C.70D.75【答案】B 【考点】分步乘法计数原理【解析】【解答】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，且每人只能去一个地方，则每人有 3 种选择，则 4 人一共有 333381 种情况，若周庄没人去，即四位同学选择了巴城老街、千灯古镇，每人有 2 种选择方法，则 4 人一共有 222216 种情况，故周庄一定要有人去有 811665 种情况，故答案为：B【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择 3 个地方的全部情况数目，再计算周庄没人去的情况数目，分析可得哈西站一定要有人去的游览方案数目，即可得答案.5.关于直线 ，有下列四个
10、命题：甲：直线 l 经过点(0，-1)；乙：直线 l 经过点(1，0)；丙：直线 l 经过点(-1，1)；丁：.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】C 【考点】恒过定点的直线【解析】【解答】由题可知，命题甲乙丙中必有一个是假命题.若甲为假命题，则由乙丙为真命题可得，此时 ，与丁矛盾，故不成立；若乙为假命题，则由甲丙为真命题可得，此时 ，与丁矛盾，故不成立；若丙为假命题，则由甲乙为真命题可得，此时 ，丁也成立，满足题意，所以假命题为丙，故答案为：C.【分析】根据题意可知，命题甲，乙，丙中必有一个为假命题，然后分别讨论甲，乙，丙为假命题，即可得结论.6.已知 的外心为
11、 ，则 的值是（）A.B.C.D.6【答案】D 【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的运算【解析】【解答】，则 ，即 ，则 为 的中点，又因为 为 的外心，则 ，所以，为直角三角形，且 ，如下图所示：，所以，为等边三角形，则 ，由勾股定理可得 ，故答案为：D.【分析】先根据向量的基本运算性质确定，ABC 为直角三角形，再由向量的数量积定义求解即可.7.如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，以 为直径的圆与双曲线 的渐近线在第一象限的交点为 ，线段 与另一条渐近线交于点 ，且 的面积是 面积的 倍，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C 【考点】点到直线的距离公式，
12、双曲线的简单性质【解析】【解答】为 的中点，则 ，即 ，所以，所以，为线段 的中点，由图可知，直线 的方程为 ，因为 ，所以直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，即点 ，因为点 ，所以点 的坐标为 ，又点 在直线 上，则有 ，则 ，因此，该双曲线的离心率为 .故答案为：C.【分析】首先求得直线 OP 的方程和以 OF2 为直径的圆的方程，求得 P 的坐标，直线 PF1 的方程，与渐近线方程 bx+ay=0，解得 Q 的坐标，由题意可得 F2 到直线 OP 的距离为 Q 到直线 OP 的距离的 2 倍，运用点到直线的距离公式和离心率公式，代入数值计算出结果即可。8.已知实数 ，满足 ，则 （）A.3
13、B.4C.D.【答案】D 【考点】对数的运算性质，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】由 知，即 ；由 知，即 .设 ，则 ，故 在 单调递增.故由 知，又由 知，所以 ，即 ，所以 .故答案为：D.【分析】由已知结合对数的运算性质及利用导数研究函数的单调性可得 a=3+lnb，则 lnb=a-3，再由已知得 lna=7-a，求解出 ln(ab)，由此即可求出 ab 的值。二、多选题（共 4 题；共 20 分）9.已知 ，均为正数，且 ，则（）A.B.C.D.【答案】B,C 【考点】不等式的基本性质【解析】【解答】因为 ，均为正数，且 ，所以 ，A.因为 ，即 ，当 时，故错误；B.因为
14、，所以 ，故正确；C.因为 ，当且仅当 时，取等号，故正确；D.因为 ，当且仅当 ，即 时，取等号，故错误；故答案为：BC【分析】根据题意，结合基本不等式的性质，对选项逐一判断即可得出答案。10.如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中正确的是（）A.三棱锥 的体积是 B.平面 C.平面 与平面 所成的二面角为 D.异面直线 与 所成角的范围是 【答案】A,B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，与二面角有关的立体几何综合题【解析】【解答】对于 A：因为 C 到平面 的距离不变，为 的一半，等于 ，的面积不变，且 所以三棱锥 的
15、体积不变，根据等体积法可得 ，A 符合题意；对于 B：连接 DB，DP，因为正方体 ，所以 平面 ，平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，所以平面 平面 ，又 平面 ，所以 平面 ，B 符合题意.对于 C：因为 ，所以 平面 ，所以 ，同理 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ，C 不符合题意；对于 D：因为 ，所以异面直线 与 所成角等于 与 所成的角，因为 ，当 P 与 两端点重合时，与 所成的角最小，且为 ，当 P 位于 中点时，与 所成角最大，且为 ，所以异面直线 与 所成角的范围是 ，D 不符合题意.故答案为：AB.【分析】利用等体积法，求出 ，即可得判断出选项 A 正确；利用面面平行的判
16、定定理，可证平面平面 平面 ，再由 平面 ，即可判断出选项B 正确；根据面面垂直的判定定理，可证平平面 平面 ，可判断出选项 C 错误；由已知条件分析可得点 P 位于 两端点时，与 所成的角最小，P 位于 中点时，与 所成角最大，即可判断出选项 D 错误，由此即可得答案.11.已知函数 的图象上，对称中心与对称轴 的最小距离为 ，则下列结论正确的是（）A.B.当 时，C.若 ，则 D.若 ，则 的值为 【答案】B,D 【考点】二倍角的余弦公式，余弦函数的单调性，由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】对称中心与对称轴 的最小距离为 ，即 .而 ,
17、.又因为 为对称轴，且 ，解得：.所以 对于 A：，而 ，所以 ，A 不符合题意；对于 B：当 时，所以 ，B 符合题意；对于 C：当 时，C 不符合题意；对于 D：当 ，时，又因为 ，所以 ，D 符合题意.故答案为：BD.【分析】首先由图象的性质即可求出周期，再由周期公式即可求出 ，结合余弦公式的图象的性质即可得出 ，从而求出函数的解析式；利用诱导公式整理即可得出 ，再由 整理即可判断出选项 A 错误；结合余弦公式的性质由整体思想即可判断出选项 B 正确；结合已知条件整理得出 ，由此判断出选项 C 错误；首先由二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式整理得出 即 ，结合同角三角函数的基本关系式
18、计算出 ，由此得出 计算出结果进而判断出选项 D 正确，从而得出答案。12.函数 ，若 时，有 ，是圆周率，为自然对数的底数，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.，则 最大【答案】A,B,D 【考点】指数函数的单调性与特殊点，幂函数的单调性、奇偶性及其应用，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】由题意，函数 ，可得 ，当 时，单调递增；当 时，单调递减，且当 时，当 时，当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，结合函数 的图象，要使得 时，有 ，所以 ，所以 A 符合题意；对于 B 中，由 ，因为函数 为定义域上的单调递增函数，且 ，所以 ，所以 B 符合题意；对于
19、C 中，当 时，要使得 ，不妨设 ，此时 ，此时 ，所以 C 不正确；对于 D 中，因为 ，由指数函数的性质，可得 ，由幂函数的单调性，可得 ，所以 ，所以最大的为 与 之中，最小值在 与 之中，又由 ，可得 ，即 ，由 ，可得 ，即 ，所以 ，同理可得 ，综上可得，这 6 个数中最大的数为 ，最小的为 ，所以 D 符合题意.故答案为：ABD【分析】利用导数求得函数 f 单调性与最值及函数的图象，结合函数 f(x)最值，可得判定 A 正确；根据函数 y=1nx 单调的性，可判定 B 正确；根据图象的变换趋势，可得判定 C 不正确；根据指数函数与幂函数的单调性，可判定 D 正确；由此得出答案。三
20、、填空题（共 4 题；共 20 分）13.在 的二项展开式中，的系数是_【答案】-10 【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】的展开式的通项公式为：，令 ，解得 ，所以 的系数是 .故答案为：-10.【分析】根据题意由二项式的通项公式结合题意令 求出 r 的值，再把数值代入到通项公式计算出结果即可。14.请写出满足条件“对任意的 恒成立，且 在 上不是增函数”的一个函数：_【答案】（答案不唯一）【考点】函数的概念及其构成要素，函数的值域【解析】【解答】答案不唯一，如：，等【分析】由题意 f(x)的最大值 f(1)且 f(x)在0，1上不是增函数，结合基本初等函数的性质可求出.15.已知抛物线
21、 ，直线 过抛物线 的焦点与抛物线交于 ，两点，以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的公共点是 ，则直线 的斜率 _【答案】-2 【考点】直线的斜率，抛物线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】设 ，因为 ，以 为直径的圆与抛物线的准线的公共点是 ，所以 ，因为 ，所以 ，故答案为：-2.【分析】根据题意设出点的坐标，由已知条件求出 p 的值由此得出抛物线的方程，再题意得出 ，并把点的坐标代入抛物线的方程由点差法解中点的坐标公式，即可求出直线的斜率。16.无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-8”无侦-8（如图 1 所示）是一款以侦察为主的无人机，
22、它配备了 2 台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过 3 马赫，比大多数防空导弹都要快如图 2 所示，已知空间中同时出现了 ，四个目标（目标和无人机的大小忽略不计），其中 ，且目标 ，所在平面与目标 ，所在平面满足二面角 的大小是 ，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为_ 【答案】【考点】球面距离及相关计算，球内接多面体【解析】【解答】设 三棱锥 的外接球的球心，取 的中点 ，作 于 ，取 的外心 ，连结 ，因为二面角 的大小是 ，所以 ，在 中，其最小侦测半径为 ，故答案为：.【分析】根据题意设 三棱锥 的外接球的球心，作出辅助线由中点的性质即可得出线线垂直从而得
23、出面角 的大小，即 结合三角形中的几何计算关系求出 ，再由勾股定理计算出 ，从而得出答案。四、解答题（共 6 题；共 70 分）17.设 ，分别是 中角 ，的对边，（1）求 ；（2）若 ，求 面积 的最大值【答案】（1）解：，由正弦定理得：，（2），即 ，当且仅当 时取等号 面积 的最大值为 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理结合两角和的正弦公式整理化简得到 ，从而得出 因此求出角 C 的大小。(2)由(1)的结论结合余弦定理代入计算出 ，再由基本不等式即可求出 ，结合三角形的面积公式就求出面积的最大值。18.已知数列 的前 项和
24、满足 ，.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，数列 的前 项积为 ，若对任意的 ，恒成立，求实数 的最大值.【答案】（1）因为 及 ，所以 是首项为 1，公差为 的等差数列，所以 ，所以 .当 时，符合上式，所以数列 的通项公式为 .（2）由 ，可得 ，所以 .因为 ，所以 ，所以数列 是递增数列.因为 （）恒成立，即 （）恒成立，所以 ，则 ，所以实数 的最大值是 2.【考点】数列的函数特性，等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和，数列的求和【解析】【分析】(1)根据题意整理结合题意即可得出数列 是等差数列，结合等差数列的通项公式整理就求出 ，利用数列前 n 项和公式和通项公式之间的关
25、系即可求出数列 的通项公式。(2)由(1)的结论整理即可得出数列 的通项公式，再由已知条件即可得出 ，结合单调性的定义即可得出 从而得到 数列 是递增数列，由 恒成立，即可得出 恒成立，由此得到 进而得出 t 的取值范围，以及 t 的最大值。19.已知 中，为 ，上的动点，且 ，将三角形 沿 折起至如图所示，使平面 平面 （1）证明：平面 平面 ；（2）求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值的取值范围【答案】（1）由题意知 中，满足 ，所以 ，又由 平面 ，平面 ，所以 平面 ，因为 ，所以 平面 又因为 平面 ，所以平面 平面 （2）设 ，则 ，且 由（1）知 ，两两互相垂直，分别以 ，为
26、轴，轴，轴建立直角坐标系，则 ，则 ，设平面 的法向量为 ，则 ，解得 ,取平面 的一个法向量 ，又平面 的法向量为 ，所以 ，因为 ，所以 所以平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值的取值范围是 【考点】直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，空间向量的数量积运算，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)由 EFAE，EFBE，得 EF平面 ABE，由 BC/EF，得 BC平面 ABE，由此能证明平面 ABC 平面 ABE.(2)根据题意 设 AE=x，则 BE=4-C，且 .由 BA，BC，BE 两两互相垂直，分别以 BE，BC，BA 为 x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，利用
27、向量法能求出平面 AFC 和平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值的取值范围.20.随着我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体 APP，几乎是全民参与某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各行各业办公室，对市民进行调研，发现约有 的人发过抖音小视频为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取 3 人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等（1）记 表示发过抖音视频的人数，求 的分布列；（2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果
28、没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过 次，（其中 小于当次调查的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为 ，求 的数学期望【答案】（1）由题意知 ，故 的所有可能为，的分布列为 0123 （2）依题意，的所有可能的值是 0，1，2，当 时，；当 时，由-，得 ，【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)由题意可知 ，求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可；(2)由已知条件求出随机变量 的可能取值，然后求出其对应的概率，然后利用错位相减法求解出 的值即可.21.已
29、知抛物线 的焦点为点 ，为 上一点，若点 到原点的距离与点 到点 的距离都是 （1）求 的标准方程；（2）动点 在抛物线 上，且在直线 的右侧，过点 作椭圆 的两条切线分别交直线 于 ，两点当 时，求点 的坐标【答案】（1）解：设 ，因此有 ，抛物线的准线为：则 ，解得 （负值舍去），所以 的标准方程为 ；（2）不妨设 ，设过点 作椭圆的切线方程为 ，由 ，得 ，由 得 ，所以 ，在中令 得，解得 ，点 的坐标为 【考点】抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意设出点的坐标，结合题意即可得出关于点 A 的坐标的方程组，求解出 p
30、的柱从而得出抛物线的方程。(2)首先设出直线的斜率以及点的坐标，进而得出 过点 作椭圆的切线方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于 x 的方程，由韦达定理即可得出 ，再由特殊值代入法得出 结合弦长公式整理即可得出 ，由此求解出 t 的值以及点 M 的坐标。22.已知函数 f（x）2cos2x+ax2（1）当 a1 时，求 f（x）的导函数 在 ，上的零点个数；（2）若关于 x 的不等式 2cos（2sinx）+a2x2af（x）在（，+）上恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】（1）易知 2（xsin2x），显然 0，所以 x0 是 f（x）的一个零点，令 g（x）xsin2x（0 x ）
31、，则 12cos2x0 时，x ，所以 g（x）在（0，）单调递减，在（，）单调递增，则 g（x）的最小值为 g（）0，又 g（0）0，且 g（）0，所以 g（x）在（0，）上存在唯一零点 x0（，），则 2g（x）在（0，）上亦存在唯一零点，因为 是奇函数，所以 在（，0）上也存在唯一零点x0，综上所述，当 a1 时，f（x）的导函数 在 ，上的零点个数为 3；（2）不等式 2cos（2sinx）+a2x2af（x）恒成立，即不等式 cos（2sinx）acos2x 恒成立，令 sinxt1，1，则等价于不等式 cos2ta（1t2）（1）恒成立，若 t21，即 t1 时，不等式（1）显然成
32、立，此时 aR，若1t1 时，不等式（1）等价于 a （2）设 h（t）（1t1），当 0t1 时，令（t）tcos2t（1t2）sin2t（0t1，则 （2t21）cos2t（0t1），已知 0，0，且 ，则（t）在（0，），（，1）上单调递减，在（，）上单调地增，又（0）0，（）10，所以（t）0 在（0，1）上恒成立，所以 h（t）在0，1）上单调递减，则 h（t）h（0）1，显然函数 h（t）为偶函数，故函数 h（t）在1，1上的最大值为 1，因此 a1，综上所述，满足题意的实数 a 的取值范围为1，+）【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，不等式
33、的综合【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数 f(x)求导，从而得出 =0 由此得出 x0 是 f（x）的一个零点，构造函数 g（x）xsin2x（0 x ）并对其求导结合导函数的性质即可得出函数 g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数 g(x)的最值即 g（）0，从而得出 g（x）在（0，）上存在唯一零点 x0（，），则 2g（x）在（0，）上亦存在唯一零点，再由函数的奇偶性即可得出答案。(2)利用已知条件即可得出 等式 2cos（2sinx）+a2x2af（x）恒成立，即不等式 cos（2sinx）acos2x 恒成立，令 sinxt1，1，则等价于不等式 cos2ta（1t2）（1）恒成立，分情况讨论：若 t21，即 t1 时，不等式（1）显然成立，此时 aR，若1t1 时，不等式（1）等价于 a （2）构造函数 h（t）（1t1）对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出 h（t）在1，1上的最大值为 1，由此即可得出 a 取值范围。
