1、高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！2013 届高三数学章末综合测试题（6）平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量 a，b 且 A Ba2b，B C5a6b，CD7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D 解析 A 由题意 BD2a4b2AB，故 A，B，D 共线2设 P 是ABC 所在平面内的一点，B CB A2BP，则()AP AP B0 BP CP A0CP BP C0 DP AP BP C0 解析 B
2、因为 B CB A2BP，所以点 P 为线段 AC 的中点，故选 B.3已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OA OB OC 0，那么()A.AO ODB.AO 2OD C.AO 3ODD2AO OD解析 A 由 2OA OB OC 0 可知，O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点，故AO OD.4已知向量 a(1,2)，b(2，4)，|c|5.若(ab)c52，则 a 与 c 的夹角为()A.6B.3C.23D.56 解析 C ab(1，2)a，所以 a 与 c 的夹角即 ab 与 c 的夹角的补角设 ab 与 c 的夹角为，则 cos abc|ab|c|525
3、 512，故 3，则 a 与 c的夹角为23.5已知 A(3,0)，B(0,2)，O 为坐标原点，点 C 在AOB 内，且AOC45，设OC OA OB(R)，则 的值为()A1 B.13C.12D.23 解析 A 如图，过 C 作 CEx 轴于点 E，则|OE|CE|2，所高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！以OC OE OB OA OB，即OE OA，所以(2,0)(3,0)，故 23.故选 A.6(2011湖南十二校联考)平面上有四个互异的点 A、B、C、D，满足(ABBC)(AD CD)0，则三角形 ABC 是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三
4、角形 解析 B(ABBC)(AD CD)(ABBC)(AD DC)(ABBC)AC(ABBC)(ABBC)|AB|2|BC|20，故|AB|BC|，即ABC 是等腰三角形7(2011杭州月考)已知定义在复数集 C 上的函数 f(x)满足 f(x)1x，xR，1ix，xR，则f(1i)()A2 B0C2 D2i 解析 C(1i)R，f(1i)(1i)(1i)1i22.8如图所示，非零向量 O Aa，O Bb，且 BCOA，C 为垂足，若 O Ca(0)，则()A.ab|a|2 B.ab|a|b|C.ab|b|2 D.|a|b|ab 解析 A B CO A，即 B CO C(O CO B)O C0
5、|O C|2O BO C0，即 2|a|2ab0，解得 ab|a|2.9(2011济南一模)设 a 是实数，且 a1i1i2 是实数，则 a()A.12B1 C1 D2 解析 B 因为 a1i1i2 a1i21i2 a12 a12 i 是实数，所以 a1.10已知点 A(2,0)、B(3,0)，动点 P(x，y)满足 P AP Bx2，则点 P 的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线 解析 D P A(2x，y)，P B(3x，y)，P AP Bx2，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(2x)(3x)y2x2，化简得 y2x6.11已知向量 a(1,1)，2ab(4,
6、2)，则向量 a，b 的夹角为()A.6B.4C.3D.2 解析 B 由 a(1,1)，2ab(4,2)，得 b(4,2)2(1,1)(2,0)设向量 a，b 的夹角为，则 cos ab|a|b|22 2 22，4.12(2011宝坻质量调查)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上，满足 2OA ABAC0(其中 O 为坐标原点)，又|AB|OA|，则向量BA在向量BC方向上的投影为()A1 B1 C.12D12 解析 C 由 2OA ABAC(OA AB)(OA AC)OB OC 0，得OB OC，即 O，B，C 三点共线又|AB|OA|1，故向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cos
7、312.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13设向量 a 与 b 的夹角为，a(3,3)，2ba(1,1)，则 cos _.解析 a(3,3)，2ba(1,1)，b(1,2)，cos ab|a|b|93 2 53 1010.【答案】3 101014如果复数 z2bi1i(bR)的实部和虚部互为相反数，则 b 的值等于_ 解析 z2bi1i1i1i 2b2 2b2 i，由2b2 2b2，得 b0.【答案】015(2011宣城调研)已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 izi2i，则 z_.解析 由题意得，z i2iii2i5i1535i.【答案】1
8、535i16对于 n 个向量 a1，a2，an，若存在 n 个不全为零的实数 k1，k2，kn，使得k1a1k2a2knan0 成立，则称向量 a1，a2，an 是线性相关的按此规定，能使向量 a1(1,0)，a2(1，1)，a3(2,2)是线性相关的实数 k1，k2，k3 的值依次为_(只需写出一组值即可)高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解析 根据线性相关的定义，得 k1(1,0)k2(1，1)k3(2,2)0k1k22k30，k22k30，令 k31，则 k22，k14，k1，k2，k3 的一组值为4,2,1.【答案】4,2,1三、解答题(本大题共 6 小题，共
9、 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)如图，在任意四边形 ABCD 中，E 为AD 的 中点，F 为 BC 的中点，证明：ABDC 2EF.解析 因为 F 为 BC 的中点，所以BFCF0，连接 AF，DF，则有ABDC ABDC BFCFABBFDC CFAFDF.而AFAEEF，DF DE EF，又 E 为 AD 的中点，所以AEDE 0.所以AFDF AEEFDE EF2EF，所以ABDC 2EF.18(12 分)计算下列各式的值：(1)2i1i2；(2)24i1i2；(3)1i1ii3.解析(1)2i1i24i21i242i 2i.(2)24i1i224i2
10、i 2i.(3)1i1ii31i21i1ii32i2i3ii0.19(12 分)已知ABC 中，C 是直角，CACB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上一点，且 AE2EB，求证：ADCE.解析 建立如图所示的直角坐标系，设 A(a,0)，则 B(0，a)，E(x，y)D 是 BC 的中点，D0，a2.又AE2EB，即(xa，y)2(x，ay)，高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！xa2x，y2a2y，解得xa3，y23a.AD 0，a2(a,0)a，a2，OE CEa3，23a，AD CEaa323aa20.AD CE，即 ADCE.20(12 分)已知点 A(2
11、,0)、B(0,2)、C(cos，sin)，O 为坐标原点，且 0.(1)若|O AO C|7，求 O B与 O C的夹角；(2)若 A CB C，求 tan 的值 解析(1)由已知可得 O A(2,0)，O C(cos，sin)，且|O AO C|7，2cos 2sin2 7，化简得 cos 12，0，sin 32，OC 12，32.又O B(0,2)，cosO B，O C O BO C|O B|O C|32.又O B，O C0，O B，O C6.(2)A C(cos 2，sin)，B C(cos，sin 2)，由 A CB C，得(cos 2，sin)(cos，sin 2)0，即(cos
12、2)cos sin(sin 2)0，化简得，sin cos 12，sin2cos22sin cos 14，sin2cos22sin cos sin2cos214，即 3tan28tan 30，解得 tan 4 73.由得，sin cos 380 且 0，2，又|sin|cos|，tan 4 73.21(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2y212x320 的圆心为 Q，过点P(0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(1)求 k 的取值范围；(2)是否存在常数 k，使得向量 O AO B与 PQ
13、共线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由 解析(1)圆的方程可写成(x6)2y24，所以圆心为 Q(6,0)，过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为 ykx2，代入圆的方程得x2(kx2)212x320，整理，得(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点 A、B 等价于4(k3)2436(1k2)16(8k26k)0，解得34k0，即 k 的取值范围为34，0.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 O AO B(x1x2，y1y2)，由方程得，x1x24k31k2.又 y1y2k(x1x2)4，而 P(0,2)，Q(6,0)，PQ(6，2)，O A
14、O B与 PQ共线等价于2(x1x2)6(y1y2)将代入上式，解得 k34，又 k34，0，不存在符合题意的常数 k.22(12 分)已知向量 acos32x，sin32x，bcosx2，sinx2，且 x3，4.(1)求 ab 及|ab|；(2)若 f(x)ab|ab|，求 f(x)的最大值和最小值 解析(1)abcos32xcosx2sin32xsinx2cos 2x，|ab|22cos 2x2|cos x|，x3，4，cos x0.|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x12cos x12232.x3，4，12cos x1.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！当 cos x12时，f(x)取得最小值32；当 cos x1 时，f(x)取得最大值1.
